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10월, 2025의 게시물 표시

고3도 이해하는 복소평면과 회전

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일단 우리가 물2를 배울때 가장 처음에 배우는 실전기술이 “축을 자유롭게 잡을수 있다” 인데, 이는 2차원 기준으로 어떤 축을 잡아도, 어떤 점에 대해서 상대적인 좌표는 다르게 표현되도, 그 절대적인 좌표는 같다는 사실이 잘 알려져 있음. 그리고 이미 실수가 수직선위에 나타낼수 있듯이, 복소수 a + b i 는 숫자의 종류가 2 개로 늘어났으니까 수직선대신 수직선 2 개를 크로스해서 만드는 평면위에 나타내어야 함. 이렇게 복소수를 평면위에 나타내는것을 복소평면이라고 부르는데, 당연히 a + b i 는 ( a , b ) 로 나타남. 그렇다면 여기서 저 검은축을 적당하게 회전시키면 빨간축이 된다고 볼수 있음, 이때 검은축 기준으로 ( 1 , 1 ) 인 점을 회전시킨 점은 빨간축 기준으로는 ( 1 , 1 ) 에 위치해 있지만, 검은축 기준으로는 어디에 위치해 있는가? 라는 질문이 생김. 이질문에 대한 답은 복소수의 곱셈이 해결해 줌. 저 검은축은 결국 1 (앞)과 i (위) 라는 것을 “기준”으로 앞으로 1 번, 위로 1 번 이동한 점이라고 볼수 있는데,  마찬가지로 저 빨간점도 회전당한 무언가(앞), 회전당한 다른무언가(위)를 기준으로 앞으로 1번, 위로 한번 이동한 점이라고 생각할수 있음, 결국 “회전당한 무언가들”을 1 과 i 로 표현해야함, 하지만 이는 너무 간단하게 해결할수 있는데, 애초에 우리가 회전한 각만 알면 바로 기준이 되는 축이 어디인지를 알수있음, 이렇게 기준이 되는 1 과 i 를 단위원을 이용해 표현하면 직관적으로 알수있음. 여기서 조금만 생각을 해보면, ( 1 + 0 i ) × ( cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) ) = cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) ( 0 + i ) × ( cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) ) = i cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) = i sin ⁡ ( π 2 + θ ) + cos ⁡ ( π 2 + θ ) 임을 알수있...
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미분적분학 II - 편미분

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01-01-Partial derivatives 다변수함수 편미분에 대해 어쩌고 저쩌고 하기전에 일단 다변수함수가 무었인지 알아야 한다.. [!정의] 이변수함수의 정의 순서쌍 ( x , y ) 의 집합 D 를 정의역으로 하고, 임의의 (집합 D 의 원소인) 순서쌍 ( x , y ) 에 대하여 이를 공역에 원소에 대응시키는 규칙을 이변수 함수라고 한다. [!정의] level curves the level curves of a function f is the set of ( x , y ) that satisfies the equation f ( x , y ) = k ∴ level curve = { ( x , y )   |   f ( x , y ) = k } 여기서 한단계 더 나아간다면? “레벨 서피스” 가 만들어 진다고 할수 있다. [!정의] 레벨 서피스 방정식 f ( x , y , z ) 에 대하여 { ( x , y , z )   |   f ( x , y , z ) = k } 리미트와 연속성 이제부터는, 다변수 함수의 극한을 생각해야 한다. [!정의] limit (multi-variable) lim ( x , y ) → ( a , b )   f ( x , y ) = L ⟺ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0   s.t.   ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 < δ ⟹ | f ( x , y ) − L | < ϵ 이를 해석하는 방법은, ( x , y ) 가 ( a , b ) 로 어떤 “길” 을 따라서 가든, 일정한 값에 가까워 져야함을 의미한다. note: 우리는 입실론 델타를 이용해서 극한값을 구할수 없음을 안다 (입델은 극한값으로 의심되는 값을 컨펌하는 도구이지, 절대 극한값을 구하는 도구가 아니다!). 직관적으로, y = n x m 을 대입해 분석해 보자. 그리고 우리는 조임정리 가 다변수 상황에서도 동일하...
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미분적분학 II - 다중적분

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01-02-다중적분 Prelude And Motivation 지금까지 우리는 편미분 을 배웠다. 그렇다면 이젠 뭔가 적분도 배워야 하지 않을까? 라는 생각이 저절로 든다. 그렇기에 우리는 “다중적분” 에 대해 배울 것이다. 일단 기본적인 컨셉은 “일중적분” 과 같다, 적분을 그냥 여러번 하면 다중적분인 거다. ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y   d x d y 를 생각하자, 여기서 x , y 는 둘다 변수 이므로, 사실은 이렇게 보면 된다 : ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 x y   d x ) d y 이보다 간단할수는 없는 산수를 하면, ∫ 0 1 [ 1 2 x 2 y ] x = 0 x = 1   d y = ∫ 0 1 1 2 y   d y = 1 4 이다. 이처럼 간단한 컨셉인 “nested-integral” 에서 시작해서 깊은 이해까지 나아가 보도록 하자. Remark 적분이란 무엇인가? 우선 [!정의] (리만)적분 lim n → ∞ ∑ k = 1 n Δ x k f ( x k ) (구분구적법) 을 생각하자, 이떄, lim n → ∞ m a x ( Δ x 1 , Δ x 2 ⋯ Δ x n ) = 0 이고, 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면 , 그 값을 ∫ a b f ( x ) d x 라 정의한다. 마찬가지로, 이중적분도, [!정의] 이중적분 영역 R = [ a , b ] × [ c , d ] 에 대하여 ∬ R f ( x , y ) d A = lim m , n → ∞ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f ( x i j ′ , y i j ′ ) ( Δ x Δ y ) 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면 , 그 값을 ∬ R f ( x ) d x 라 정의한다. 이처럼 정의한다. 이때, ∫ 는 1차원인 (단변수) 것을 적분하여 2차원의 넓이가 나온다! (area under the curve) 그렇다면 ∬ 는 2차원인 (2변수) 것을 적분하여 3차원의 ...
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해석학- 집합의 성질들

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01-01-집합의 성질들 Before We Start… 우리는 지금까지 미적분학 을 배우면서 practical 한 수학에 있었다. 특히 벡터 미적분학은 물리를 위한 수학이라고 불러도 무방할 정도로 물리와의 깊은 연관을 보여주었다. 하지만 우리는 물리학자가 아닌 수학자, 결국 순수수학의 세상으로 빠질 대비가 필요해진다. 이런 “수학으로의 빠짐” 의 초석이라 할수있는 해석학 을 시작해 보자. 우선 아주 중요한 사실 하나를 집고 넘어가도록 하자, 그건 바로 이 세상의 모든건 추상 을 통해 만들어진 것이다. 즉 우리는 이제부터 자연수, 유리수 ,정수를 전부 우리가 엄밀한 정의 를 통해서 만들어낸 대상 으로 보아야 한다는 것이다. 실수의 정의 (“건축”) [!정의] N = { 1 , 2 , 3 , ⋯ } Z = { ⋯ − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯ } Q = { n m   |   n , m ∈ Z , m ≠ 0 } 을 통해서 우리는 자연수,정수,유리수를 정의했다. 이정도면 충분하게 많은 종류의 수들을 “정의” 했다고도 할수 있지만, 아직 우리는 많이 부족하다. x 2 = 2 를 만족하는 해 x 가 존재하는가? 라는 질문에 대해 우리는 (귀류법을 통해서) “그런 유리수는 없다” 라는 답변을 얻는다. 하지만 여기서 “위 식을 만족하는 새로운 수” 를 “정의” 할수 있게 된다 . (이것이 실수!) 1 우선 실수의 formal 한 정의를 알아보도록 하자. 해석학의 스탠다드 교제인 루딘의 책에 따르면 실수 R 는 “최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가지는 순서체(ordered field)” 이라고 한다 (?) 아무래도 이해를 하려면 좀더 공부가 필요해 보인다. 순서 집합 우선 순서 집합(Ordered) 에 대해 알아보자. [!정의] 순서 어떤 집합 S 에 대하여 < 라는 기호를 이용하여 나타낼수 있는 관계가 있고, 아래의 두 조건을 ...
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