고3도 이해하는 복소평면과 회전

 

일단 우리가 물2를 배울때 가장 처음에 배우는 실전기술이 "축을 자유롭게 잡을수 있다" 인데, 이는 2차원 기준으로 어떤 축을 잡아도, 어떤 점에 대해서 상대적인 좌표는 다르게 표현되도, 그 절대적인 좌표는 같다는 사실이 잘 알려져 있음.

그리고 이미 실수가 수직선위에 나타낼수 있듯이, 복소수 a+bi는 숫자의 종류가 2개로 늘어났으니까 수직선대신 수지선 2개를 크로스해서 만드는 평면위에 나타내어야 함.

이렇게 복소수를 평면위에 나타내는것을 복소평면이라고 부르는데, 당연히 a+bi는 (a,b)로 나타남.

그렇다면 여기서 저 검은축을 적당하게 회전시키면 빨간축이 된다고 볼수 있음, 이때 검은축 기준으로 (1,1) 인 점을 회전시킨 점은 빨간축 기준으로는 (1,1)에 위치해 있지만, 검은축 기준으로는 어디에 위치해 있는가? 라는 질문이 생김.

이질문에 대한 답은 복소수의 곱셈이 해결해 줌.

저 검은축은 결국 1(앞)과 i(위) 라는 것을 "기준"으로 앞으로 1번, 위로 한번 이동한 점이라고 볼수 있는데, 

마찬가지로 저 빨간점도 회전당한 무언가(앞), 회전당한 다른무언가(위)를 기준으로 앞으로 1번, 위로 한번

이동한 점이라고 생각할수 있음, 결국 "회전당한 무언가들"을 1과 i로 표현해야함, 하지만 이는 너무 간단하게

해결할수 있는데, 애초에 우리가 회전한 각만 알면 바로 기준이 되는 축이 어디인지를 알수있음,

이렇게 기준이 되는 1과 i를 단위원을 이용해 표현하면 직관적으로 알수있음.

여기서 조금만 생각을 해보면,

임을 알수있는데 결국 (a,b)를 각 θ  만큼 회전시키려면, 

를 해주면 된다는걸 알수있음!(회전된 점의 좌표는 ((acos(θ)−bsin(θ)),(asin(θ)+bcos(θ)) 임.)

여기서 추가적으로 알수있는 사실은 

이니까.

의 모든 근을 찾으라는 문제는 결국, "n번 회전해서 0도로 돌아오는 각은 얼마인가"로 볼수 있기에,

(이때 k= 0,1,2...n-1)

라고 일반화가 가능함.

미분적분학 II - 다중적분 (WIP)

다중적분

Prelude And Motivation

지금까지 우리는 편미분을 배웠다.

그렇다면 이젠 뭔가 적분도 배워야 하지 않을까? 라는 생각이 저절로 든다.

그렇기에 우리는 “다중적분” 에 대해 배울 것이다.

일단 기본적인 컨셉은 “일중적분” 과 같다, 적분을 그냥 여러번 하면 다중적분인 거다. ${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1}xydxdy}$ 를 생각하자, 여기서 $x,y$ 는 둘다 변수 이므로, 사실은 이렇게 보면 된다 : $${\displaystyle {\int }_0^1\left({\int }_0^{1}xydx\right)dy}$$ 이보다 간단할수는 없는 산수를 하면, ${\displaystyle {\int }_0^1{\left[\frac{1}{2}{x}^{2}y\right]}_{x=0}^{x=1}dy={\int }_0^1\frac{1}{2}ydy=\frac{1}{4}}$ 이다.

이처럼 간단한 컨셉인 “nested-integral” 에서 시작해서 깊은 이해까지 나아가 보도록 하자.

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Remark

적분이란 무엇인가? 우선

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_{n}f(x_n)$$ (구분구적법) 을 생각하자, 이떄, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}max(x_1,x_2\cdots x_n)=0}$ 이고, 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면, 그 값을 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 라 정의한다.

마찬가지로, 이중적분도,

이처럼 정의한다.

이때, $\int$ 는 1차원인 (단변수) 것을 적분하여 2차원의 넓이가 나온다! (area under the curve) 그렇다면 $\iint$ 는 2차원인 (2변수) 것을 적분하여 3차원의 부피가 나올까? 당연하다.

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기하적 의미

3dobj1.png

기존의 적분이 미소길이 (밑변) $dx$ 에 높이 $f(x)$ 를 곱해 미소 사각형을 무한히 더함으로써 곡선 아래의 넓이를 얻는 것 처럼, 이중적분은 미소넓이(밑변) $dxdy$ 에 높이 $f(x,y)$ 를 곱해 얻는 미소 육면체의 부피를 무한히 더함으로써 3차원 곡면 아래의 부피를 얻는다.