fr0mhell's math stash

기초미적분학 정리 8 내적이란 무엇 Dot Product Theorem: \(u \cdot v = |u||v|\cos \theta\) 이 공식을 살짝 비틀면, Component만 알아도 두 Vector 사이의 각도를 알아낼 수 있다. 공식은 \(\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u||v|}\) 이다 그렇기에 \(u \cdot v = 0 \iff \text{서로 수직}\) 이라는 결론을 얻는다 Component & Projection (스칼라 정사영과 벡터 정사영) 어떤 Vector \(u\) 가 다른 Vector \(v\) 방향으로 얼마나 뻗어있는지 ’그림자’를 구하는 거다 t of \(u\) along \(v\) (스칼라 정사영): 이건 \(u\) 중에서 \(v\) 방향을 가리키는 부분의 Magnitude(크기)를 말한다. 기하학적으로는 \(|u|\cos \theta\) 로 계산한다. (만약 각도 \(\theta\) 가 \(\frac{\pi}{2}\) ​보다 크면, 반대 방향이라서 그림자 길이는 마이너스가 나온다! ). Dot Product를 쓰면 공식은 \(\text{comp}_{v}u = \frac{u \cdot v}{|v|}\) 가 된다 예시: 비탈길에 주차된 자동차의 무게( \(w\) )를 비탈길과 평행한 힘( \(u\) )과 수직인 힘( \(v\) )으로 쪼갤 수 있다. 차가 아래로 구르려는 힘의 크기나 바닥을 누르는 힘의 크기 모두 이 Component 개념을 써서 계산하는 거다!. Projection of \(u\) onto \(v\) (벡터 정사영): 위에서 구한 그림자 크기(Component)에다가 실제 \(v\) 의 방향(Direction)을 입혀서 진짜 새로운 Vector로 만드는 거다. Component 크기인 \((\frac{u \cdot v}{|v|})\) 에다가 \(v\) 방향의 Unit vector(길이가 1인 벡터)인 \(\fra...

 Jigedit - A Sane Editor For The Sane People   <- 다운로드   기존 리눅스 환경에서는 vim, emacs, helix 가 많이들 쓰이지만, 이 세 에디터들은 모두 상당히 하드코어하고 "간단하게 텍스트 파일의 내용을 바꾸고 싶다" 라는 니즈를 충족시키기는 어렵습니다.  (config 파일 같은거 수정좀 하려고 vscode 나 pycharm 같은 프로그램을 열 필요가 없는 것처럼요.)  물론 이런 task 를 위해 nano 가 존재하지만 nano 는 nano 만의 단축키 배열을 사용하고, 현대적인 ㅇ에디터들이 전부 지원하는 마우스 지원도 많이 부족해 사용성이 많이 떨어집니다.   그렇다고 xed, gedit 은 GTK 기반이라 테마를 마음대로 하기도 어렵다는 문제가 있습니다.   또한 우리는 결국 윈도우의 메모장 같은 단순한 프로그램을 원한다고 할수 있습니다. (특히 리눅스로 최근에 넘어간 분들은 더더욱 이를 깊게 느끼실겁니다.)  그래서 직접 만들었습니다    jigedit 은 터미널에서 돌아갑니다 마이크로소프트 메모장과 거의 같은 단축키를 사용합니다 아주 간단한 터미널 커멘드를 사용합니다    jigedit을 당신의 리눅스 시스템에 다운로드 하고 싶으시다면  curl -sL https://raw.githubusercontent.com/fr0mhe11/jigedit/main/install.sh | bash 을 터미널에 실행시킨후 터미널에 jigedit 을 입력해 실행하시면 됩니다.     jigedit으로 jigedit의 코드를 연 모습.

The $\TeX$snipp Manifesto 서문: 도구는 부드러워야 한다 지식을 기록하는 과정에서 도구가 지식의 확장을 방해해서는 안 됩니다. \(\TeX\) snipp 은 단순한 에디터를 넘어, 수학적 사고가 텍스트와 수식으로 치환되는 과정에서 발생하는 모든 ’마찰’을 제거하기 위해 탄생했습니다. 기존 환경의 한계: Overleaf를 넘어서 Overleaf는 협업의 표준이 되었지만, 개인의 창작 흐름을 유지하는 데는 몇 가지 치명적인 한계를 보입니다. 네트워크 의존성: 서버 응답을 기다리는 ’컴파일 딜레이’는 즉각적인 피드백을 원하는 연구자의 몰입을 깨뜨립니다. 맥락 전환의 피로: 다국어 입력과 \(\LaTeX\) 문법 사이의 불일치는 인지적 부하를 가중시킵니다. 매번 한/영 전환을 눌러야 한다는 제약은 신체에 너무 큰 부담을 줍니다. 무거운 인터페이스: 웹 기반의 비대한 UI는 작업의 본질인 '글쓰기’보다 ’도구 관리’에 더 많은 신경을 쓰게 만듭니다. 잘못된 방향: 도대체 왜 \(\LaTeX\) 에디터에 AI 기능이 필요합니까? “AI”라는 허울 좋은 핑계를 대면서 사람들의 프로젝트 파일에 접근해 뒤에서 개인정보를 수집하고 데이터를 팔아먹겠다는 의도가 보입니다. Corporate greed 도 선이 있습니다. 이미 Overleaf는 그 선을 넘었습니다. TeXsnipp의 3대 핵심 가치 심리스한 다국어 워크플로우 우리는 한국어 사용자가 수식을 작성할 때 겪는 전환의 고통을 이해합니다. \(\TeX\) snipp 은 입력 소스와 수식 모드 사이의 장벽을 허물어, 언어의 경계를 느끼지 않고 수식을 코딩할 수 있는 환경을 제공합니다. 스니펫을 통한 고속 작문 (Velocity) 단순한 자동 완성을 넘어, 스니펫은 사고의 최소 단위가 됩니다. 반복되는 정리(Theorem)와 복잡한 수식 구조를 단 몇 글자의 입력으로 완성함으로써, 타자 속도가 생각의 속도를 추월하도록 돕습니다. 로컬 퍼스트의 ...

01-01 - 1차와 2차 미분방정식 Preface \(u,v,w,g,y,p,q ,\psi\) 는 \(t\) 에 대한 함수라는 약속을 하고 시작해 보자. 마찬가지로 \(\frac{du}{dt} = \dot{u}, \frac{d^2u}{dt^2} = \ddot{u} \cdots\) 라고 적어야 하겠지만 여기서는 \(u',u'' \cdots\) 라고 적자. 모든 방정식은 \(y\) 를 \(t\) 에 대해 닫힌 형식으로 기술하는것이 목적이 된다. [!note] 해를 제시할 때 그 해가 성립하는 구간을 잡아야 한다 , \(\frac{1}{t}\) 같은 것이 해라면, “ \(0\) ” 은 우리가 제시하는 구간에 없어야 한다. ( \(t \in (0,1]\) 처럼) [!tip] 최고차항의 계수를 1로 만든 표준형 \(y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)\) 에서, 해가 존재하는 구간 \(I\) 는 \(p(t), q(t), g(t)\) 세 함수가 동시에 연속이면서, 초기값 \(t_0\) 를 포함하는 가장 넓은 구간 이다. 그렇기에 해의 존재 구간은 방정식의 계수들을 표준형으로 나눴을 때, 분모가 0이 되는 점(Singular point)이나 로그의 진수 조건 등을 뚫고 지나갈 수 없다. 반드시 초기값 \(t_0\) 가 속한 연속 구간으로 쪼개서 대답해야 한다. Before We Start… 미분 방정식은 사실 너무 실용적인 과목이라 배워야 할 이유를 설명할 필요가 없다!! 1차 선형 상미분방정식 \(y' + py=g\) 이 꼴을 1차 선형 ODE 라고 한다 note that \(D_{t}(e^{ A }y)=e^A(y'+A')\) \(\therefore e^{ \int p(t) }(y'+p(t)y)=e^{ \int p(t) }(g(t))\) 을 이용한다, 그러므로 \(e^{ \int p(t)}(y)=\int_{dt} g(t...

01-01-집합의 성질들 Before We Start… 우리는 지금까지 미적분학 을 배우면서 practical 한 수학에 있었다. 특히 벡터 미적분학은 물리를 위한 수학이라고 불러도 무방할 정도로 물리와의 깊은 연관을 보여주었다. 하지만 우리는 물리학자가 아닌 수학자, 결국 순수수학의 세상으로 빠질 대비가 필요해진다. 이런 “수학으로의 빠짐” 의 초석이라 할수있는 해석학 을 시작해 보자. 우선 아주 중요한 사실 하나를 집고 넘어가도록 하자, 그건 바로 이 세상의 모든건 추상 을 통해 만들어진 것이다. 즉 우리는 이제부터 자연수, 유리수 ,정수를 전부 우리가 엄밀한 정의 를 통해서 만들어낸 대상 으로 보아야 한다는 것이다. 실수의 정의 (“건축”) [!정의] \[\begin{align*} &\mathbb{N} = \{ 1,2,3, \cdots\} \\ &\mathbb{Z} = \{ \dots -3,-2,-1 , 0 ,1,2,3,\cdots \} \\ & \mathbb{Q} = \left\{ \frac{n}{m} ~|~ n,m \in \mathbb{Z} , m \neq0\right \} \end{align*} \] 을 통해서 우리는 자연수,정수,유리수를 정의했다. 이정도면 충분하게 많은 종류의 수들을 “정의” 했다고도 할수 있지만, 아직 우리는 많이 부족하다. \(x^2 =2\) 를 만족하는 해 \(x\) 가 존재하는가? 라는 질문에 대해 우리는 (귀류법을 통해서) “그런 유리수는 없다” 라는 답변을 얻는다. 하지만 여기서 “위 식을 만족하는 새로운 수” 를 “정의” 할수 있게 된다 . (이것이 실수!) 1 우선 실수의 formal 한 정의를 알아보도록 하자. 해석학의 스탠다드 교제인 루딘의 책에 따르면 실수 \(\mathbb{R}\) 는 “ \(Q\) 를 부분집합으로 가지는 최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가지는 순서체(ordered field)” 이라...

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왜 리눅스를 써서 이 고생을… 지금 쓰는 데스크탑에 서브 ssd를 달아 (윈도우 11 으로 넘어가지 않으려는 발악의 일환으로 ) 리눅스 민트를 시도해 보았다 결과는…. 진짜 미친듯이 힘들었다 특히 키보드가 말썽이었어서 상당한 고생이었다 평범하게 쓴다면 (out of the box) 이런 고생을 안 하겠지만… 결국 제미나이를 붇잡고 하루 어치의 사용량을 전부 소진한 덕분에 원하는 키보드 설정을 얻을수 있었고, 다음번에도 바로바로 적용할수 있도록 여기에 기록하고자 한다. 내가 원하는 키보드 설정 1. Caps Lock 을 한/영 키로 바꾸기 - 이건 무조건 있어야 한다 특히 latex 작업을 하면서 자주 한/영키를 누르다 보면 해당 기능의 소중함을 깨닫게 된다. 2. Input Source Indicator 기능 - mac OS 나 ipad OS 에는 입력 언어를 바꾸면 이렇게 커서 아래에 어떤 언어가 선택되었는지 보여주는 기능이 있다. 이게 정말정말정말 편하다! 이 역시도 latex 작업을 할때 상당히 도움된다. Before We Start… 그 전에, 일단 해야하는 일들이 있다! 리눅스 민트를 fresh install 을 했다면, 이 단계는 무조건 거쳐야 하는 단계이다. (시나몬 기준으로 설명한다, 언어는 한글이 기준이다.) ctrl + alt + t 를 눌러 터미널 을 실행한다 sudo apt update sudo apt install fcitx5 fcitx5-hangul fcitx5-frontend-gtk2 fcitx5-frontend-gtk3 fcitx5-frontend-qt5 fcitx5-frontend-qt6 -y 을 입력,엔터설치가 끝났다면, 시스템 설정 → 한글 입력 을 누른후 상단의 “입력기 프레임 워크” 를 “fcitx5” 로 변경한다 그후 한번 로그아웃, 로그인을 해준다. (또는 im-config -n fcitx 을 터미널에 실행한다). “fcitx 5 설정” 을 “시작 메뉴”에서 찾아 실...