fr0mhell's math stash

01-01 - 1차와 2차 미분방정식 Preface \(u,v,w,g,y,p,q ,\psi\) 는 \(t\) 에 대한 함수라는 약속을 하고 시작해 보자. 마찬가지로 \(\frac{du}{dt} = \dot{u}, \frac{d^2u}{dt^2} = \ddot{u} \cdots\) 라고 적어야 하겠지만 여기서는 \(u',u'' \cdots\) 라고 적자. 모든 방정식은 \(y\) 를 \(t\) 에 대해 닫힌 형식으로 기술하는것이 목적이 된다. [!note] 해를 제시할 때 그 해가 성립하는 구간을 잡아야 한다 , \(\frac{1}{t}\) 같은 것이 해라면, “ \(0\) ” 은 우리가 제시하는 구간에 없어야 한다. ( \(t \in (0,1]\) 처럼) [!tip] 최고차항의 계수를 1로 만든 표준형 \(y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)\) 에서, 해가 존재하는 구간 \(I\) 는 \(p(t), q(t), g(t)\) 세 함수가 동시에 연속이면서, 초기값 \(t_0\) 를 포함하는 가장 넓은 구간 이다. 그렇기에 해의 존재 구간은 방정식의 계수들을 표준형으로 나눴을 때, 분모가 0이 되는 점(Singular point)이나 로그의 진수 조건 등을 뚫고 지나갈 수 없다. 반드시 초기값 \(t_0\) 가 속한 연속 구간으로 쪼개서 대답해야 한다. Before We Start… 미분 방정식은 사실 너무 실용적인 과목이라 배워야 할 이유를 설명할 필요가 없다!! 1차 선형 상미분방정식 \(y' + py=g\) 이 꼴을 1차 선형 ODE 라고 한다 note that \(D_{t}(e^{ A }y)=e^A(y'+A')\) \(\therefore e^{ \int p(t) }(y'+p(t)y)=e^{ \int p(t) }(g(t))\) 을 이용한다, 그러므로 \(e^{ \int p(t)}(y)=\int_{dt} g(t...

01-01-집합의 성질들 Before We Start… 우리는 지금까지 미적분학 을 배우면서 practical 한 수학에 있었다. 특히 벡터 미적분학은 물리를 위한 수학이라고 불러도 무방할 정도로 물리와의 깊은 연관을 보여주었다. 하지만 우리는 물리학자가 아닌 수학자, 결국 순수수학의 세상으로 빠질 대비가 필요해진다. 이런 “수학으로의 빠짐” 의 초석이라 할수있는 해석학 을 시작해 보자. 우선 아주 중요한 사실 하나를 집고 넘어가도록 하자, 그건 바로 이 세상의 모든건 추상 을 통해 만들어진 것이다. 즉 우리는 이제부터 자연수, 유리수 ,정수를 전부 우리가 엄밀한 정의 를 통해서 만들어낸 대상 으로 보아야 한다는 것이다. 실수의 정의 (“건축”) [!정의] \[\begin{align*} &\mathbb{N} = \{ 1,2,3, \cdots\} \\ &\mathbb{Z} = \{ \dots -3,-2,-1 , 0 ,1,2,3,\cdots \} \\ & \mathbb{Q} = \left\{ \frac{n}{m} ~|~ n,m \in \mathbb{Z} , m \neq0\right \} \end{align*} \] 을 통해서 우리는 자연수,정수,유리수를 정의했다. 이정도면 충분하게 많은 종류의 수들을 “정의” 했다고도 할수 있지만, 아직 우리는 많이 부족하다. \(x^2 =2\) 를 만족하는 해 \(x\) 가 존재하는가? 라는 질문에 대해 우리는 (귀류법을 통해서) “그런 유리수는 없다” 라는 답변을 얻는다. 하지만 여기서 “위 식을 만족하는 새로운 수” 를 “정의” 할수 있게 된다 . (이것이 실수!) 1 우선 실수의 formal 한 정의를 알아보도록 하자. 해석학의 스탠다드 교제인 루딘의 책에 따르면 실수 \(\mathbb{R}\) 는 “ \( \mathbb{Q}\) 를 부분집합으로 가지는 최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가지는 순서체(ordered f...

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linux mint 사용기 - 내가 쓰는 키보드 설정 왜 리눅스를 써서 이 고생을… 지금 쓰는 데스크탑에 서브 ssd를 달아 (윈도우 11 으로 넘어가지 않으려는 발악의 일환으로 ) 리눅스 민트를 시도해 보았다 결과는…. 진짜 미친듯이 힘들었다 특히 키보드가 말썽이었어서 상당한 고생이었다 평범하게 쓴다면 (out of the box) 이런 고생을 안 하겠지만… 결국 제미나이를 붇잡고 하루 어치의 사용량을 전부 소진한 덕분에 원하는 키보드 설정을 얻을수 있었고, 다음번에도 바로바로 적용할수 있도록 여기에 기록하고자 한다. 내가 원하는 키보드 설정 1. Caps Lock 을 한/영 키로 바꾸기 - 이건 무조건 있어야 한다 특히 latex 작업을 하면서 자주 한/영키를 누르다 보면 해당 기능의 소중함을 깨닫게 된다. 2. Input Source Indicator 기능 - mac OS 나 ipad OS 에는 입력 언어를 바꾸면 이렇게 커서 아래에 어떤 언어가 선택되었는지 보여주는 기능이 있다. 이게 정말정말정말 편하다! 이 역시도 latex 작업을 할때 상당히 도움된다. Before We Start… 그 전에, 일단 해야하는 일들이 있다! 리눅스 민트를 fresh install 을 했다면, 이 단계는 무조건 거쳐야 하는 단계이다. (시나몬 기준으로 설명한다, 언어는 한글이 기준이다.) ctrl + alt + t 를 눌러 터미널 을 실행한다 sudo apt install fcitx5 fcitx5-hangul 을 입력,엔터 설치가 끝났다면, 시스템 설정 → 한글 입력 을 누른후 상단의 “입력기 프레임 워크” 를 “fcitx5” 로 변경한다. 그후 한번 로그아웃, 로그인을 해준다. (한글 입력은 종료한다) “fcitx 5 설정” 을 “시작 메뉴”에서 찾아 실행한다 이처럼 “입력기” 에서 hangul (한글) 을 추가해 준다, (키보드-한국어 어쩌고 하는건 없에 버리자!) “에드온” 탭으로 넘어가 조금 스크롤을 해 “XC...

          -수학과 학생이 수학을 심화전공으로 인정받기 위해서는, 위의 필수 수강과목에 더 해, 전공선택 과목을 12개(36학점) 이상을 수강해야합니다. 필수 수강과목- 선택교양(기초과학): 미적분학및연습I, II (6학점).- 학문의 기초: 수학을 위한 기초 컴퓨팅 (3학점).- 전공필수: 해석학I,II, 선형대수I,II, 대수학I, 복소해석학I, 미분기하학I, 위상수학I (24 학점) --- 필수 강의는 전부 3학점이므로, 원한다면 1학기에 6강의 (18학점)을 들을수 있다. 2학년 1학기에 해석1, 선대1을 (나는 여기서 일물연 2를 듣는다 치면) 수강하면 10학점이 남는다, 미방연, 기하학개론,집합론 (총 9학점) 을 들으면 된다  그럼 19학점중 1학점이 남는데, 이건 적당한 교양으로 채운다.

지금까지 한 메모들 1. 오루비를 메모장으로 쓰기 연속함수면 클레로 정리에 의해서 g = f x y = f y x therefore ∫ g   ∂ x ∂ y − ∫ g   ∂ y ∂ x = h ( x , y … ) (푸비니 정리 꼴?)가 어느정도 성립한다고 할수 있으니까 미방 꼴) M + N d y d x = 0 이거가 exact 꼴이다 의 필요충분이( M , N , M y , N x 가 연속하다면), M y = N x 이다 M y = N x ⟺ ∂ u ∂ x = M , ∂ u ∂ y = N 그럼 M y = N x ⟸ ∂ u ∂ x = M , ∂ u ∂ y = N 는 클레로 정리에 의해 참. M y = N x ⟹ ∂ u ∂ x = M , ∂ u ∂ y = N 를 보이면 되는데 M − ∫ N x ∂ y = 0 → ∫ M ∂ x − ∬ N x ∂ y ∂ x = 0 therfore (위의 푸비니 정리꼴에 의해서) ∫ M ∂ x − ∫ N ∂ y = 0 ∴ ∂ u ∂ x = M , ∂ u ∂ y = N thus M + N d y d x = 0 의 해 y 가 존재함은 M y = N x ⟺ ∂ u ∂ x = M , ∂ u ∂ y = N 일때 성립한다. 2. 개인메모장2-클레로 정리 내식대로 증명 f x y = f y x 증명은 mvt 가지고 꼼지락거리기 인데 내가 꼴@리는 방식대로 계획: 예전에 했던 lim h → 0 + ∑ k = 0 n n C k ( − 1 ) n − k f ( x + k h ) h n = d n f d x n 이거를 하는 느낌으로 극한 iteration 해서 하면 될거 같은데 그러면 for all 연속함수: lim h 1 → a h 2 → a f ( h 1 + h 2 ) = lim h 2 → a lim h 1 → a f ( h 1 + h 2 ) = lim h 1 → a f ( 2 h 1 ) 가 성립함을 보여야 할것인데 (대충 느낌상) 이건 입델로 꼼지락거리면...