fr0mhell's math stash

발뜽에 불 떨어짐 ㅠㅠ $$\nabla f= \mathbf{F } \mathrel{ \substack{ \xrightarrow{\text{(추가조건 없음)}\hspace{0em}} \\[-0.8ex] \xleftarrow[\text{($D$가 Open simply connected region)}]{} } ~~\mathbf{F} \text{가 path independent}} \iff \oint _\limits{C} \mathbf{F (r)\cdot} d \mathbf{r}  $$ $$ \nabla f=\mathbf{F }   \mathrel{ \substack{ \xrightarrow{\text{(추가조건 없음)}\hspace{0em}} \\[-0.8ex] \xleftarrow[\text{($D$가 Open simply connected region)}]{} }} \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x }$$ (당연히 저 편도함수들이 연속해야 한다.) $$\nabla f =\mathbf{F} \mathrel{ \substack{ \xrightarrow{\text{(추가조건 없음)}\hspace{0em}} \\[-0.8ex] \xleftarrow[\text{($D$가 Open simply connected region)}]{} } } \nabla \times \mathbf{F} =0 $$ --- ## 그린 정리 > $$\oint _\limits{C} \mathbf{F (r)\cdot }d  \mathbf{r} = \iint _\limits{D} -P_{y}{ + Q_{x}} ~dxdy  $$ ## 스톡크스 정리 > $$\oint _\limits{C} \mathbf{F (r)\cdot }d  \mathbf{r} = \iint _\limits{S_{open}} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{...

< 벡터 미적분학 대충 우리는 물리학자들의 노예다. 그래서 우리는 물리학자들이 만든 수학을 설명하고 이해하는 시간을 가져보도록 한다. 벡터장 (vector field) . 함수 F 가 벡터 v 를 받아서 다시 벡터 F ( v ) 를 뱉어내는 함수 F 를 벡터장 이라고 한다. ex) F ( x , y , z ) = ı ^ P ( x , y , z ) + ȷ ^ Q ( x , y , z ) + k ^ R ( x , y , z ) = ⟨ P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ⟩ 그라디언트 필드 F = ∇ f 라면 벡터장 F 를 그라디언트 필드라고 한다. 앗! 그런데 임의의 F 에 대해서 F = ∇ f 라고 표현할수 있는가? ( f 를 찾을수 있는가?) 라고 고민할수 있다. 그렇기에 우리는 보존장 이라는 개념을 도입한다. 보존장의 정의 백터장 F 에 대하여 F = ∇ f 인 f 가 존재한다면, F 를 보존장 이라고 한다. ##note: 화살표를 위쪽에 적어 표기한 벡터는 유클리드드 벡터 라고 부른다, 좀 더 일반적인 벡터란 의미에서는 v 같은 볼드 표시를 한다. 마찬가지로 백터장도 백터를 뱉기 때문에 F 로도 많이들 적는다. 선적분 . 이 그림처럼 저 파란 곡선을 따라 함수를 적분하고 싶다면 (밑변이 저 파란 곡선이고 높이가 함수값) 선적분 을 이용해야 한다. 곡선 C 에 대해 ∫ C f ( x , y ) d s = lim n → ∞ ∑ k = 0 n f ( x k , y k ) Δ s , Δ s = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 이떄 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 이다. 위처럼 정의하지만, 이를 실제로 계산하는 방법을는 해당 곡선을 매계변수화 한다. 즉, C : { ( x ( t ) , y ( t ) ) | a ≤ t ≤ b } 이도록 하는 x ( t ) , y ( t ) 를 ...