미분적분학 II - 다중적분

01-02-다중적분

Prelude And Motivation

지금까지 우리는 편미분을 배웠다.

그렇다면 이젠 뭔가 적분도 배워야 하지 않을까? 라는 생각이 저절로 든다.

그렇기에 우리는 “다중적분” 에 대해 배울 것이다.

일단 기본적인 컨셉은 “일중적분” 과 같다, 적분을 그냥 여러번 하면 다중적분인 거다.

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1}xydxdy}$를 생각하자, 여기서$x,y$는 둘다 변수 이므로, 사실은 이렇게 보면 된다 :

$${\displaystyle {\int }_0^1\left({\int }_0^{1}xydx\right)dy}$$

이보다 간단할수는 없는 산수를 하면,${\displaystyle {\int }_0^1{\left[\frac{1}{2}{x}^{2}y\right]}_{x=0}^{x=1}dy={\int }_0^1\frac{1}{2}ydy=\frac{1}{4}}$이다.

이처럼 간단한 컨셉인 “nested-integral” 에서 시작해서 깊은 이해까지 나아가 보도록 하자.

Remark

적분이란 무엇인가? 우선

[!정의] (리만)적분

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_{k}f(x_k)$$ (구분구적법) 을 생각하자, 이떄,${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}max(\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2\cdots \mathrm{\Delta }{x}_n)=0}$ 이고, 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면, 그 값을${\int }_a^{b}f(x)dx$라 정의한다.

마찬가지로, 이중적분도,

[!정의] 이중적분

영역 $R=[a,b]\times [c,d]$ 에 대하여 ${\displaystyle {\iint }_{R}f(x,y)dA=\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^{n}f(x_{ij}^{\prime },y_{ij}^{\prime })(\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }y)}$ 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면, 그 값을${\iint }_{R}f(x)dx$라 정의한다.

이처럼 정의한다.

이때,$\int$는 1차원인 (단변수) 것을 적분하여 2차원의 넓이가 나온다! (area under the curve) 그렇다면$\iint$는 2차원인 (2변수) 것을 적분하여 3차원의 부피가 나올까? 당연하다.

note: 그냥 한번하는 적분처럼 연속하면 여러번 적분 가능하다.

기하적 의미

기존의 적분이 미소길이 (밑변)$dx$에 높이$f(x)$를 곱해 미소 사각형을 무한히 더함으로써 곡선 아래의 넓이를 얻는 것 처럼, 이중적분은 미소넓이(밑변)$dxdy$에 높이$f(x,y)$를 곱해 얻는 미소 육면체의 부피를 무한히 더함으로써 3차원 곡면 아래의 부피를 얻는다.

???: 그럼$\iiint$는 뭔가요 >.<

아…. 넘어갑시다 (대충 4차원 부?피입니다)

참고로,$dxdy=dA,dxdydz=dV$라고도 적는다, (곱하는 순서는 상관없다)

이때,$\underset{D}{\iint }dA=A$이므로, 그냥$dA$를 쌓아올리는건 2차원 영역$D$의 넓이를 구하는 것이다. 마찬가지로$\underset{D}{\iiint }dV=V$이므로, 그냥$dV$를 쌓아올리는건 3차원 영역$D$의 부피를 구하는 것이다. (적분기호 안쪽에 함수가 있다면 차원이 1단계 올라간다)

푸비니의 정리 (중요!!!!111!!!1)

그렇다면 위의 기하적 의미를 통해 유추할수 있다.

$$\underset{R}{\iint }fdxdy\stackrel{?}{=}\underset{R}{\iint }fdydx$$

이는 푸비니의 정리가 증명해준다.

[!정리] 푸비니의 정리

만약 집합$R$에서$f$가 연속하다면$\underset{R}{\iint }fdxdy=\underset{R}{\iint }fdydx$이다. ($n$중적분이어도 동일하게 성립한다.)

그렇다면 영역$R$이 (0,0) (1,1) (0,1) (1,0) 을 꼭지점으로 하는 사각형이라면

$\underset{R}{\iint }fdydx={\int }_0^1{\int }_0^{1}fdydx$라고 적을 수 있다. 그런데$R$이 꼭 나이스하게 박스 형태여야 할 이유가 이쓰까? 없다!

이렇게 생긴 영역$D$에 대해서$f$를 적분하고 싶다면 어떻게 해야할까?

여기서 우리가 느껴야 하는 점은, “영역을 표현하는 방법은 다양하다” 이다.

저 경우는 두가지 방법으로 표현이 가능하다!

case1 :$D=\{0<x<1,x<y<1\}$
case2 :$D=\{0<x<y,0<y<1\}$

만약 case1 대로${\displaystyle \underset{D}{\iint }dxdy}$를 해보자. 그러면

$${\int }_x^1{\int }_0^{1}dxdy={\int }_0^{x}1dy=x(?)$$

엥 분명${\iint }_{D}dA$의 의미는 영역$D$의 넓이니까$\frac{1}{2}$가 나와야 하는데 왜 이상한 결과가 나오지…?

그렇다면, case2 를 가지고 적분을 해보자. 그러면,

$${\int }_0^1{\int }_0^{y}dxdy={\int }_0^{1}ydy=\frac{1}{2}$$

아하! 적분을 할때는 맨 앞부분${\displaystyle \stackrel{\stackrel{\text{이거}}{\downarrow }}{\int }\int }$ 은 어떻게든 구간이 상수로 이루어지게 해야하는구나! (그렇게 되도록 영역의 “표현”을 조작해야 한다는 것이다) 라는 결론을 얻는다.

야코비안과 치환적분

Suppose that there exists a one-to-one function$G:D\to R$

여기서 함수$G$는 집합$D$를 받아서 집합$R$로 “변환” 시켜 주는 일대일 대응이다.

그렇다면,

$$\underset{R}{\iint }f(x,y)dA$$

를 생각하자, 이때$x,y$를 변수$u,v$에 대한 함수로 볼수가 있다. 즉,$R=\{(x(u,v),y(u,v))|(u,v)\in D\}$이다.

어쩌다 보니,$R$을 가지고 쌈뽕하게 적분하기가 어렵다.

뭔가$R$을 변형해서 적분을 하고 싶다!

그때 하기 좋은것이 치환 적분이다.

야코비안

그전에 야코비안에 대해 배워보자.

[!정의] jacobian

$$\begin{array}{rl}& \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\left|\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|\right|\\ & =|x_u{y}_v-x_v{y}_u|\end{array}$$

이라고 적고, 이를 야코비안 이라고 한다. 그리고 이는 적분 영역을$R$에서$D$로 바꿀때 생겨나는 “오차” 를 보정해 주는 “보정기” 역할을 해준다. 그리고 이를 통하여 치환 적분을 정의하게 된다.

[!정의] 치환적분

$$\underset{R}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

즉, $x,y$ 영역 $R$ 을 주물럭 주물럭 해주면 $u,v$ 영역 $D$ 가 나오지만, $f(x,y)dxdy\ne f(x,y)dudv$ 이니까, 야코비안 $\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|$ 이 “보정”을 해줌으로써 결국 조밀하게 더한 결과를 동일하게 맞춰주는 거다.