미분적분학 II - 다중적분 (WIP)

다중적분

Prelude And Motivation

지금까지 우리는 편미분을 배웠다.

그렇다면 이젠 뭔가 적분도 배워야 하지 않을까? 라는 생각이 저절로 든다.

그렇기에 우리는 “다중적분” 에 대해 배울 것이다.

일단 기본적인 컨셉은 “일중적분” 과 같다, 적분을 그냥 여러번 하면 다중적분인 거다. ${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1}xydxdy}$ 를 생각하자, 여기서 $x,y$ 는 둘다 변수 이므로, 사실은 이렇게 보면 된다 : $${\displaystyle {\int }_0^1\left({\int }_0^{1}xydx\right)dy}$$ 이보다 간단할수는 없는 산수를 하면, ${\displaystyle {\int }_0^1{\left[\frac{1}{2}{x}^{2}y\right]}_{x=0}^{x=1}dy={\int }_0^1\frac{1}{2}ydy=\frac{1}{4}}$ 이다.

이처럼 간단한 컨셉인 “nestedintegral” 에서 시작해서 깊은 이해까지 나아가 보도록 하자.

Remark

적분이란 무엇인가? 우선

(리만)적분
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_{k}f(x_k)$$ (구분구적법) 을 생각하자, 이떄, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}max(\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2\cdots \mathrm{\Delta }{x}_n)=0}$

이고, 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면, 그 값을 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 라 정의한다.

마찬가지로, 이중적분도,

이처럼 정의한다.

이때, $\int$ 는 1차원인 (단변수) 것을 적분하여 2차원의 넓이가 나온다! (area under the curve) 그렇다면 $\iint$ 는 2차원인 (2변수) 것을 적분하여 3차원의 부피가 나올까? 당연하다.

note: 그냥 한번하는 적분처럼 연속하면 여러번 적분 가능하다.

기하적 의미

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기존의 적분이 미소길이 (밑변) $dx$ 에 높이 $f(x)$ 를 곱해 미소 사각형을 무한히 더함으로써 곡선 아래의 넓이를 얻는 것 처럼, 이중적분은 미소넓이(밑변) $dxdy$ 에 높이 $f(x,y)$ 를 곱해 얻는 미소 육면체의 부피를 무한히 더함으로써 3차원 곡면 아래의 부피를 얻는다.

???: 그럼 $\iiint$ 는 뭔가요 >.<

아…. 넘어갑시다 (대충 4차원 부?피입니다)

참고로, $dxdy=dA,dxdydz=dV$ 라고도 적는다, (곱하는 순서는 상관없다)

이때, $\underset{D}{\iint }dA=A$ 이므로, 그냥 $dA$ 를 쌓아올리는건 2차원 영역 $D$ 의 넓이를 구하는 것이다. 마찬가지로 $\underset{D}{\iiint }dV=V$ 이므로, 그냥 $dV$ 를 쌓아올리는건 3차원 영역 $D$ 의 부피를 구하는 것이다. (적분기호 안쪽에 함수가 있다면 차원이 1단계 올라간다)

푸비니의 정리 (중요!!!!111!!!1)

그렇다면 위의 기하적 의미를 통해 유추할수 있다.

$$\underset{R}{\iint }fdxdy\stackrel{?}{=}\underset{R}{\iint }fdydx$$ 이는 푸비니의 정리가 증명해준다.

푸비니의 정리 만약 집합 $R$ 에서 $f$ 가 연속하다면 $\underset{R}{\iint }fdxdy=\underset{R}{\iint }fdydx$ 이다. ($n$중적분이어도 동일하게 성립한다.)

그렇다면 영역 $R$ 이 (0,0) (1,1) (0,1) (1,0) 을 꼭지점으로 하는 사각형이라면

$\underset{R}{\iint }fdydx={\int }_0^1{\int }_0^{1}fdydx$ 라고 적을 수 있다. 그런데 $R$ 이 꼭 나이스하게 박스 형태여야 할 이유가 이쓰까? 없다!

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이렇게 생긴 영역 $D$ 에 대해서 $f$ 를 적분하고 싶다면 어떻게 해야할까?

여기서 우리가 느껴야 하는 점은, “영역을 표현하는 방법은 다양하다” 이다.

저 경우는 두가지 방법으로 표현이 가능하다!

case1 : $D=\{0<x<1,x<y<1\}$
case2 : $D=\{0<x<y,0<y<1\}$

만약 case1 대로 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }dxdy}$ 를 해보자. 그러면 $${\int }_x^1{\int }_0^{1}dxdy={\int }_0^{x}1dy=x(?)$$

엥 분명 ${\iint }_{D}dA$ 의 의미는 영역 $D$ 의 넓이니까 $\frac{1}{2}$ 가 나와야 하는데 왜 이상한 결과가 나오지…?

그렇다면, case2 를 가지고 적분을 해보자. 그러면, $${\int }_0^1{\int }_0^{y}dxdy={\int }_0^{1}ydy=\frac{1}{2}$$

아하! 적분을 할때는 맨 앞부분 ${\displaystyle \stackrel{\stackrel{\text{이거}}{\downarrow }}{\int }\int }$ 은 어떻게든 구간이 상수로 이루어지게 해야하는구나! (그렇게 되도록 영역의 “표현”을 조작해야 한다는 것이다) 라는 결론을 얻는다.

야코비안과 치환적분

Suppose that there exists a one-to-one function $G:D\to R$ 여기서 함수 $G$ 는 집합 $D$ 를 받아서 집합 $R$ 로 “변환” 시켜 주는 일대일 대응이다.

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그렇다면, $$\underset{R}{\iint }f(x,y)dA$$ 를 생각하자, 이때 $x,y$ 를 변수 $u,v$ 에 대한 함수로 볼수가 있다. 즉, $R=\{(x(u,v),y(u,v))|(u,v)\in D\}$ 이다.

어쩌다 보니, $R$ 을 가지고 쌈뽕하게 적분하기가 어렵다.

뭔가 $R$ 을 변형해서 적분을 하고 싶다!

그때 하기 좋은것이 치환 적분이다.

야코비안

그전에 야코비안에 대해 배워보자.

definition of Jacobian

$$\begin{array}{rl}& \left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\left|\left|\begin{array}{cc}{x}_u& x_v\\ y_u& y_v\end{array}\right|\right|\\ & =|x_u{y}_v-x_v{y}_u|\end{array}$$

이라고 적고, 이를 야코비안 이라고 한다. 그리고 이는 적분 영역을 $R$ 에서 $D$ 로 바꿀때 생겨나는 “오차” 를 보정해 주는 “보정기” 역할을 해준다.

치환적분

$$\underset{R}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{D}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

이다.

센노리쿄 라는 사람이 정립한 개념

일기 일화-지금이 만남은 한번뿐이다 화경 청청- 마음을 열고 서로 존중