미분적분학 II - 다중적분 (WIP)

다중적분

Prelude And Motivation

지금까지 우리는 편미분을 배웠다.

그렇다면 이젠 뭔가 적분도 배워야 하지 않을까? 라는 생각이 저절로 든다.

그렇기에 우리는 “다중적분” 에 대해 배울 것이다.

일단 기본적인 컨셉은 “일중적분” 과 같다, 적분을 그냥 여러번 하면 다중적분인 거다. ${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1}xydxdy}$ 를 생각하자, 여기서 $x,y$ 는 둘다 변수 이므로, 사실은 이렇게 보면 된다 : $${\displaystyle {\int }_0^1\left({\int }_0^{1}xydx\right)dy}$$ 이보다 간단할수는 없는 산수를 하면, ${\displaystyle {\int }_0^1{\left[\frac{1}{2}{x}^{2}y\right]}_{x=0}^{x=1}dy={\int }_0^1\frac{1}{2}ydy=\frac{1}{4}}$ 이다.

이처럼 간단한 컨셉인 “nested-integral” 에서 시작해서 깊은 이해까지 나아가 보도록 하자.

---

Remark

적분이란 무엇인가? 우선

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_{n}f(x_n)$$ (구분구적법) 을 생각하자, 이떄, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}max(x_1,x_2\cdots x_n)=0}$ 이고, 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면, 그 값을 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 라 정의한다.

마찬가지로, 이중적분도,

이처럼 정의한다.

이때, $\int$ 는 1차원인 (단변수) 것을 적분하여 2차원의 넓이가 나온다! (area under the curve) 그렇다면 $\iint$ 는 2차원인 (2변수) 것을 적분하여 3차원의 부피가 나올까? 당연하다.

---

기하적 의미

3dobj1.png

기존의 적분이 미소길이 (밑변) $dx$ 에 높이 $f(x)$ 를 곱해 미소 사각형을 무한히 더함으로써 곡선 아래의 넓이를 얻는 것 처럼, 이중적분은 미소넓이(밑변) $dxdy$ 에 높이 $f(x,y)$ 를 곱해 얻는 미소 육면체의 부피를 무한히 더함으로써 3차원 곡면 아래의 부피를 얻는다.