미분적분학 II - 편미분

Partial derivatives (WIP)

다변수함수

편미분에 대해 어쩌고 저쩌고 하기전에 일단 다변수함수가 무었인지 알아야 한다..

definition

이변수함수의 정의: 순서쌍 $(x,y)$ 의 집합 $D$ 를 정의역으로 하고, 임의의 (집합 $D$의 원소인) 순서쌍 $(x,y)$ 에 대하여 이를 공역에 원소에 대응시키는 규칙을 이변수 함수라고 한다.

level curves the level curves of a function $f$ is the set of $(x,y)$ that satisfies the equation

$f(x,y)=k$ $\therefore$ level curve = $\{(x,y)|f(x,y)=k\}$

여기서 한단계 더 나아간다면? “레벨 서피스” 가 만들어 진다고 할수 있다.

레벨 서피스: 방정식 $f(x,y,z)$ 에 대하여 $\{(x,y,z)|f(x,y,z)=k\}$

---

리미트와 연속성

이제부터는, 다변수 함수의 극한을 생각해야 한다.

definition of limit (multi-variable)

$$\begin{array}{rl}& \underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=L\\ \\ & \Updownarrow \\ \\ & \mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta >0\text{s.t.}\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}<\delta ⟹|f(x,y)-L|<ϵ\end{array}$$

이를 해석하는 방법은, $(x,y)$ 가 $(a,b)$ 로 어떤 “길” 을 따라서 가든, 일정한 값에 가까워 져야함을 의미한다.

note: 우리는 입실론 델타를 이용해서 극한값을 구할수 없음을 안다 (입델은 극한값으로 의심되는 값을 컨펌하는 도구이지, 절대 극한값을 구하는 도구가 아니다!). 직관적으로, $y=n{x}^m$ 을 대입해 분석해 보자. 그리고 우리는 조임정리가 다변수 상황에서도 동일하게 적용됨을 안다, 극한값을 구할때 요긴하게 써먹도록 하자.

연속의 정의: 모든 $(a,b)\in D$ 에 대하여 ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (a,b)}{lim}f(x,y)=f(a,b)}$ 이면, 집합 $D$ 에서 $f$ 는 연속이다.

직관적으로, 단변수 상황에서의 수렴하는 극한의 성질은 대부분 동일하게 다변수 상황에서 성립한다.

편미분의 정의

“파셜” 미분의 정의는 “변수를 고정 (단변수화) 후 미분한것” 이다.

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y_0)={\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h,y_0)-f(x,y_0)}{h}}$$

이때, $f(x,y_0)$ 은 $x$ 에 대한 함수임을 알수 있다 (단변수화!).

이때 편미분 노테이션으로는 $\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=D_{x}f={\partial }_{x}f$ 가 있다.

이때 드는 생각이 있다, $f_x$ 가 존재하려면 $f$ 가 $(x,y$) 에서 연속이어야 하는가? 아니다! 위 식을 통해서 $f(x,y_0)$ 이 $x$ 에 대해서 연속하면 $f_x$ 가 존재함을 알수있다.

---

그리고 곱셈의 교환법칙에 따라 아래와 같은 생각을 할수 있는데,

$$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial x}f\stackrel{?}{=}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial y}f$$ 이는 클레로 정리의 결론이다.

클레로 정리

$f_{xy},f_{yx}$가 전부 연속 $⟹$ $f_{xy}=f_{yx}$

(증명은 mvt로 꼼지락 거리기)

---

(중요!!!11!!!) 리니어라이제이션과 디프런셔블

일변수함수에서는 미분계수의 정의가 사실상 디프런셔블의 여부를 판단하는것이라 할수 있는데, 다변수로 간다면 이야기가 달라진다

“differentiable” 함 = $f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)=f(x,y)+f_x(x,y)\mathrm{\Delta }x+f_y(x,y)\mathrm{\Delta }y+{ϵ}_1(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }x+{ϵ}_2(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y$ 가 잘 표현되는가? (선형근사가 잘 되는가?) 라고 할수가 있다.

(단순하게 디프런셔블을 미분가능이라 부르기에는 에매하기에 디프런셔블이라고 부르도록 하겠다.)

이때 이변수 함수의 선형근사는 접평면이 나온다. (일변수 함수의 선형근사는 접선) 그럼 접평면의 식을 구하는 방법은 무었인가?

백터 $\overrightarrow{r}=(x,y,f(x,y))$ 을 생각하자, 여기서 점 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 에서의 접평면을 구하기 위해서는, $\overrightarrow{r_x}(x_0,y_0)=(1,0,f_x(x_0,y_0)),\overrightarrow{r_y}(x_0,y_0)=(0,1,f_y(x_0,y_0))$ 임을 알수있다. 이 백터가 만드는 평면의 노말 백터는 , $\overrightarrow{r_x}\times \overrightarrow{r_y}$ 이다. therefore, $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{r_x}\times \overrightarrow{r_y}& =\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ 1& 0& f_x\\ 0& 1& f_y\end{array}\right|\\ & =i\left|\begin{array}{cc}0& f_x\\ 1& f_y\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{cc}1& f_x\\ 0& f_y\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\\ & =i(0\times f_y-f_x)-j(f_y-0\times f_x)+k(1-0)\\ & =-i{f}_x-j{f}_y+k\\ & =(-f_x,-f_y,1)\end{array}$$

노말백터를 구했으니 평면의 식에 이를 대입하면, $-f_{x}x-f_{y}y+z=0$ 이 나온다. 그러나 접평면은 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 를 지나야 하므로, 평면을 평행이동하면 $-f_x(x-x_0)-f_y(y-y_0)+(z-f(x_0,y_0))=0$ 이 함수 $f$ 의 선형근사 -접평면- 이다.

이때 함수의 선형근사 $L$ 의 식을 찾으라는 문제에서는 위 식을 이항해서, $L=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)+f(x_0,y_0)$ 이라고 적으면 된다.

---

체인 룰

편미분을 fraction 처럼 표시하는 이유는 당연히 체인 룰 때문이라고 유추할수 있다.

Case1: 디프런셔블 함수 $f(x,y)$ 를 생각하자, 이때, $x=x(t),y=y(t)$ 를 대입한다면, $f(t)$ 가 되므로 $\frac{df}{dt}$ 를 구하고 싶어진다. 일일이 대입해 미분하는 방법도 있지만, 좀더 간편한 방법으로는 $$\frac{df(x(t),y(t))}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$ 해당 공식을 사용할수 있다.

($\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{dx}{dt}$ 임을 이용해 기억하면 좀 더 편하다.)

Case 2: 디프런셔블 함수 $f(x,y)$ 를 생각하자, 이때, $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 를 대입한다면, $f(u,v)$ 가 되므로 $\frac{\partial f}{du},\frac{\partial f}{\partial v}$ 를 구하고 싶어진다. 일일이 대입해 미분하는 방법도 있지만, 좀더 간편한 방법으로는

$$\frac{\partial f(x(u,v),y(u,v))}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$$

조금만 생각해 보면 케이스 2는 케이스 1을 일반화한 것임을 알수있다.

체인룰: $f_u(x(u,v),y(u,v))=f_x(x(u,v),y(u,v))x_u(u,v)+f_y(x(u,v),y(u,v))y_u(u,v)$

($x,y$ 에 $x(u,v),y(u,v)$ 대입)

음함수와 편미분

적당한 디프런셔블 함수 $F(x,y)$ 가 있다 “방정식” $F(x,y)=C$ 를 만족하는 순서쌍 $(x,y)$ 를 plot 하면 $y(x)$ 라는 음함수 관계가 나온다.

그렇다면 $F(x,y(x))=C$ 라는 $x$ 에 대한 항등식을 만족한다고 볼수 있는데, 항등식이니까 양변을 미분하고 싶어진다. 위의 체인룰을 사용하면. $$\frac{dF(x,y(x))}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y(x)}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy(x)}{dx}=\frac{dC}{dx}=0$$ therefore $F_x(x,y(x))+F_y(x,y(x))y^{\prime }(x)=0$ 이라는 결론이 나온다. 즉, $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))}$$ 를 얻는다! 같은 논리로 $F(x,y,z)=C$ 의 음함수 미분도 구할수 있다.

($y(x),z(x),x(y),z(y)$ 등등 다양하게 볼수있다.)

---

방향미분

방향미분의 정의:$$D_{⟨a,b⟩}f(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}$$

이떄, $⟨a,b⟩$ 은 백터이다.

이걸 어디에 써먹냐? (나도 몰라요) 일반적인 편미분은 $x$ 또는 $y$ “만” 변할때를 분석할수 있다. 하지만 방향미분은 백터 $⟨a,b⟩$ 방향으로 $(x,y)$ 가 동시에 변할때를 분석하는 도구가 된다.

그라디언트

$\mathrm{\nabla }f(x,y)=⟨f_x(x,y),f_y(x,y)⟩=i{f}_x(x,y)+j{f}_y(x,y)$ 즉 그라디언트 자체는 일단 편미분값이 존재하면 정의된다.

또한, 디프런셔블한 함수 $f(x,y)$ 에 대하여 해당 성질이 성립한다.

$D_{⟨a,b⟩}f(x,y)=a{f}_x(x,y)+b{f}_y(x,y)=\mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot ⟨a,b⟩$

즉! $$f\text{is differentiable}⟹D_{⟨a,b⟩}f(x,y)=\mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot ⟨a,b⟩$$

by taking the contrapositive of the statement above, we obtain

$$D_{⟨a,b⟩}f(x,y)\ne \mathrm{\nabla }f(x,y)\cdot ⟨a,b⟩⟹f\text{is NOT differentiable}$$

이 명제는 아주 강력한 명제인데, 선형근사가 가능한지가 아닌 방향미분과 그라드를 (정의에 충실하게) 구해 비교하는 것만으로 디프런셔블하지 않음을 증명할수 있다!

note: 즉 디프런셔블한 함수에 대해서 $D_{⟨x,y⟩}f(a,b)$ 의 최대값은 (크기가 일정한 백터 $⟨x,y⟩$를 찾는거다), $|⟨x,y⟩|\times |\mathrm{\nabla }f(a,b)|$ 이 되고, 이때 $⟨x,y⟩$ 는 $\mathrm{\nabla }f(a,b)$ 와 나란한 방향의 벡터이다. (코사인을 이용해 생각하면 자명하다!)

중요!!! $D_{⟨a,b⟩}f$ 는 스칼라, $\mathrm{\nabla }f$ 는 벡터다!!!!!!!

---

“음평면의 접평면”

레벨 서피스 $S=\{(x,y,z)|F(x,y,z)=k\}$ 를 생각하자, 이 서피스도 적당하게 디프런셔블 해서 접평면을 잘 만들수 있다면, 어떻게 해야 접평면을 구할수 있겠는가?

$S$ 위의 곡선 $\overrightarrow{r(t)}=(x(t),y(t),z(t))$ 를 생각하자, 이때 $F(x_0,y_0,z_0)=k$ 이고,

$\overrightarrow{r(t_0)}=(x_0,y_0,z_0)$ 라고 하자, 즉 우리는 레벨 서피스 위의 한 점을 지나는 $S$ 위의 임의의 곡선 $\overrightarrow{r(t)}$ 를 생각하자는 거다.

$S$ 위의 곡선이므로, $F(x(t),y(t),z(t))=k$ 가 성립하므로, 양변을 $t$ 에 대해 미분하면.(체인룰을 기억하자)

$\frac{dF(x(t),y(t),z(t))}{dt}=\frac{\partial F}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{dz}{dt}=0$ 이다.

즉, $$\dot{x}(t)F_x(x(t),y(t),z(t))+\dot{y}(t)F_y(x(t),y(t),z(t))+\dot{z}(t)F_z(x(t),y(t),z(t))=0$$

이를 그라디언트를 이용해 다시 식을 표현하면, $$\mathrm{\nabla }F\cdot \dot{\overrightarrow{r}(t)}=0$$ 즉! 벡터 $\mathrm{\nabla }F,\dot{\overrightarrow{r}}(t)$ 는 서로 수직하다

이때 중요한 점은 임의의 곡선 $\overrightarrow{r(t)}$ 이므로, 이 곡선들을 전부 모으면 레벨 서피스 $S$ 가 된다는 점이다.

즉! 레벨 서피스 $S$ 의 노말 벡터는 $\mathrm{\nabla }F$ 이다!

그렇기에 점 $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 레벨 서피스 $S$ 의 접평면은,

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }F(x_0,y_0,z_0)\cdot ⟨x-x_0,y-y_0,z-z_0⟩=0\\ & F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\end{array}$$

양 surface $z=F(x,y)$ 와 음 surface $F(x,y,z)=k$ 의 차이를 알고 이 둘의 노말 벡터가 다름을 인지하자!

---

극점과 임계점

함수 $f$ 의 임계점: $\mathrm{\nabla }f=0$ or $\mathrm{\nabla }f=\text{undefined}$

(극점의 후보 : 임계점) -> (최대최소의 후보: 극점)

이라는 관계가 성립한다고 할수 있다.

이때 극점의 정의는 고등학생때 배우는 정의와 같다, 근방에서 가장 작으면 극소, 가장 크면 극대인 것이다. 그렇기에 최대,최소는 당연히 극점의 부분이다.

그렇기에 이러한 정리를 얻는데 $$\begin{array}{r}\text{최소}=min(\{f(x,y)|\mathrm{\nabla }f(x,y)=0,\text{undefined},(x,y)\text{ 가 경계에 있음}\})\\ \text{최대}=max(\{f(x,y)|\mathrm{\nabla }f(x,y)=0,\text{undefined},(x,y)\text{ 가 경계에 있음}\})\end{array}$$

extrmeme value = 극값

critical value = 임계값

이때 할만한 생각으로는, 임계점이 극대,극소,안장 인지를 파악하는 방법은 없을까? 이다.

이때 할수있는 방법으로는 단변수 경우에 사용하는 이계도함수 판정법 처럼,

$(a,b)$ 주변에서 이계도함수가 연속하고, $\mathrm{\nabla }f(a,b)=0$ 이면( $(a,b)$ 가 임계점), $$D=\left|\begin{array}{c}{f}_{xx}(a,b)f_{xy}(a,b)\\ f_{xy}(a,b)f_{yy}(a,b)\end{array}\right|$$

을 정의한다,.

이때. $$\begin{array}{rl}& D>0,f_{xx}(a,b)>0⟹\text{극소}\\ \\ & D>0,f_{xx}(a,b)<0⟹\text{극대}\\ \\ & D<0⟹\text{극대,극소가 아니다 (안장점)}\end{array}$$

안장점은

장점이

아님 ㅋㅋ

---

라그랑주 승수법  Lagrange multiplier

그렇다면 또다른 생각이 든다, 그렇다면 “구속조건” $g(x,y,z)=k$ 를 만족하는 순서쌍 $(x,y,z)$ 에 대하여 $f(x,y,z)$ 의 최대최소는 어떻게 구하는가?

이 problem 은 라그랑지 승수법이 해결해 준다.

1. $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\lambda \mathrm{\nabla }g(x,y,z),g(x,y,z)=0$ 를 동시에 만족하는 점 $(x,y,z)$ 를 찾는다.

2. 우리가 찾은 점들 $(x,y,z)$ 를 다시 $f$ 에 대입하여 (값을 비교해) 최대최소를 구한다.

처음 식으로 람다에 대해 $(x,y,z)$ 가 표현되고, 그걸 구속조건에 대입해 람다를 구하는 방향으로 나아가면 된다.

만약 구속조건이 $g_1(x,y,z,)=k_1,g_2(x,y,z)=k_2$ 라면,

$\mathrm{\nabla }f=\lambda \mathrm{\nabla }{g}_1+\mu \mathrm{\nabla }{g}_2$

$g_1(x,y,z)=k_1,g_2(x,y,z)=k_2$

를 모두 만족하는 순서쌍 $(x,y,z,)$ 를 찾으면 된다.