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미분방정식- 1차와 2차 방정식

01-01 - 1차와 2차 미분방정식 Preface \(u,v,w,g,y,p,q ,\psi\) 는 \(t\) 에 대한 함수라는 약속을 하고 시작해 보자. 마찬가지로 \(\frac{du}{dt} = \dot{u}, \frac{d^2u}{dt^2} = \ddot{u} \cdots\) 라고 적어야 하겠지만 여기서는 \(u',u'' \cdots\) 라고 적자. 모든 방정식은 \(y\) 를 \(t\) 에 대해 닫힌 형식으로 기술하는것이 목적이 된다. [!note] 해를 제시할 때 그 해가 성립하는 구간을 잡아야 한다 , \(\frac{1}{t}\) 같은 것이 해라면, “ \(0\) ” 은 우리가 제시하는 구간에 없어야 한다. ( \(t \in (0,1]\) 처럼) [!tip] 최고차항의 계수를 1로 만든 표준형 \(y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)\) 에서, 해가 존재하는 구간 \(I\) 는 \(p(t), q(t), g(t)\) 세 함수가 동시에 연속이면서, 초기값 \(t_0\) 를 포함하는 가장 넓은 구간 이다. 그렇기에 해의 존재 구간은 방정식의 계수들을 표준형으로 나눴을 때, 분모가 0이 되는 점(Singular point)이나 로그의 진수 조건 등을 뚫고 지나갈 수 없다. 반드시 초기값 \(t_0\) 가 속한 연속 구간으로 쪼개서 대답해야 한다. Before We Start… 미분 방정식은 사실 너무 실용적인 과목이라 배워야 할 이유를 설명할 필요가 없다!! 1차 선형 상미분방정식 \(y' + py=g\) 이 꼴을 1차 선형 ODE 라고 한다 note that \(D_{t}(e^{ A }y)=e^A(y'+A')\) \(\therefore e^{ \int p(t) }(y'+p(t)y)=e^{ \int p(t) }(g(t))\) 을 이용한다, 그러므로 \(e^{ \int p(t)}(y)=\int_{dt} g(t...
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미분적분학 II - 편미분

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01-01-Partial derivatives 다변수함수 편미분에 대해 어쩌고 저쩌고 하기전에 일단 다변수함수가 무었인지 알아야 한다.. [!정의] 이변수함수의 정의 순서쌍 ( x , y ) 의 집합 D 를 정의역으로 하고, 임의의 (집합 D 의 원소인) 순서쌍 ( x , y ) 에 대하여 이를 공역에 원소에 대응시키는 규칙을 이변수 함수라고 한다. [!정의] level curves the level curves of a function f is the set of ( x , y ) that satisfies the equation f ( x , y ) = k ∴ level curve = { ( x , y )   |   f ( x , y ) = k } 여기서 한단계 더 나아간다면? “레벨 서피스” 가 만들어 진다고 할수 있다. [!정의] 레벨 서피스 방정식 f ( x , y , z ) 에 대하여 { ( x , y , z )   |   f ( x , y , z ) = k } 리미트와 연속성 이제부터는, 다변수 함수의 극한을 생각해야 한다. [!정의] limit (multi-variable) lim ( x , y ) → ( a , b )   f ( x , y ) = L ⟺ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0   s.t.   ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 < δ ⟹ | f ( x , y ) − L | < ϵ 이를 해석하는 방법은, ( x , y ) 가 ( a , b ) 로 어떤 “길” 을 따라서 가든, 일정한 값에 가까워 져야함을 의미한다. note: 우리는 입실론 델타를 이용해서 극한값을 구할수 없음을 안다 (입델은 극한값으로 의심되는 값을 컨펌하는 도구이지, 절대 극한값을 구하는 도구가 아니다!). 직관적으로, y = n x m 을 대입해 분석해 보자. 그리고 우리는 조임정리 가 다변수 상황에서도 동일하...
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해석학- 집합의 성질들

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01-01-집합의 성질들 Before We Start… 우리는 지금까지 미적분학 을 배우면서 practical 한 수학에 있었다. 특히 벡터 미적분학은 물리를 위한 수학이라고 불러도 무방할 정도로 물리와의 깊은 연관을 보여주었다. 하지만 우리는 물리학자가 아닌 수학자, 결국 순수수학의 세상으로 빠질 대비가 필요해진다. 이런 “수학으로의 빠짐” 의 초석이라 할수있는 해석학 을 시작해 보자. 우선 아주 중요한 사실 하나를 집고 넘어가도록 하자, 그건 바로 이 세상의 모든건 추상 을 통해 만들어진 것이다. 즉 우리는 이제부터 자연수, 유리수 ,정수를 전부 우리가 엄밀한 정의 를 통해서 만들어낸 대상 으로 보아야 한다는 것이다. 실수의 정의 (“건축”) [!정의] \[\begin{align*} &\mathbb{N} = \{ 1,2,3, \cdots\} \\ &\mathbb{Z} = \{ \dots -3,-2,-1 , 0 ,1,2,3,\cdots \} \\ & \mathbb{Q} = \left\{ \frac{n}{m} ~|~ n,m \in \mathbb{Z} , m \neq0\right \} \end{align*} \] 을 통해서 우리는 자연수,정수,유리수를 정의했다. 이정도면 충분하게 많은 종류의 수들을 “정의” 했다고도 할수 있지만, 아직 우리는 많이 부족하다. \(x^2 =2\) 를 만족하는 해 \(x\) 가 존재하는가? 라는 질문에 대해 우리는 (귀류법을 통해서) “그런 유리수는 없다” 라는 답변을 얻는다. 하지만 여기서 “위 식을 만족하는 새로운 수” 를 “정의” 할수 있게 된다 . (이것이 실수!) 1 우선 실수의 formal 한 정의를 알아보도록 하자. 해석학의 스탠다드 교제인 루딘의 책에 따르면 실수 \(\mathbb{R}\) 는 “ \(Q\) 를 부분집합으로 가지는 최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가지는 순서체(ordered field)” 이라...
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미분적분학 II - 다중적분

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01-02-다중적분 Prelude And Motivation 지금까지 우리는 편미분 을 배웠다. 그렇다면 이젠 뭔가 적분도 배워야 하지 않을까? 라는 생각이 저절로 든다. 그렇기에 우리는 “다중적분” 에 대해 배울 것이다. 일단 기본적인 컨셉은 “일중적분” 과 같다, 적분을 그냥 여러번 하면 다중적분인 거다. ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y   d x d y 를 생각하자, 여기서 x , y 는 둘다 변수 이므로, 사실은 이렇게 보면 된다 : ∫ 0 1 ( ∫ 0 1 x y   d x ) d y 이보다 간단할수는 없는 산수를 하면, ∫ 0 1 [ 1 2 x 2 y ] x = 0 x = 1   d y = ∫ 0 1 1 2 y   d y = 1 4 이다. 이처럼 간단한 컨셉인 “nested-integral” 에서 시작해서 깊은 이해까지 나아가 보도록 하자. Remark 적분이란 무엇인가? 우선 [!정의] (리만)적분 lim n → ∞ ∑ k = 1 n Δ x k f ( x k ) (구분구적법) 을 생각하자, 이떄, lim n → ∞ m a x ( Δ x 1 , Δ x 2 ⋯ Δ x n ) = 0 이고, 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면 , 그 값을 ∫ a b f ( x ) d x 라 정의한다. 마찬가지로, 이중적분도, [!정의] 이중적분 영역 R = [ a , b ] × [ c , d ] 에 대하여 ∬ R f ( x , y ) d A = lim m , n → ∞ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f ( x i j ′ , y i j ′ ) ( Δ x Δ y ) 어떻게 구간을 나누든 저 무한합이 유니크한 값을 가진다면 , 그 값을 ∬ R f ( x ) d x 라 정의한다. 이처럼 정의한다. 이때, ∫ 는 1차원인 (단변수) 것을 적분하여 2차원의 넓이가 나온다! (area under the curve) 그렇다면 ∬ 는 2차원인 (2변수) 것을 적분하여 3차원의 ...
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