해석학- 집합의 성질들

01-01-집합의 성질들

Before We Start…

우선 아주 중요한 사실 하나를 집고 넘어가도록 하자, 그건 바로 이 세상의 모든건 추상 을 통해 만들어진 것이다. 즉 우리는 이제부터 자연수, 유리수 ,정수를 전부 우리가 엄밀한 정의를 통해서 만들어낸 대상으로 보아야 한다는 것이다.

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실수의 정의 (“건축”)

[!정의]

$$\begin{array}{rl}& \mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots \}\\ & \mathbb{Z}=\{\cdots -3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \}\\ & \mathbb{Q}=\{\frac{n}{m}|n,m\in \mathbb{Z},m\ne 0\}\end{array}$$

을 통해서 우리는 자연수,정수,유리수를 정의했다.

이정도면 충분하게 많은 종류의 수들을 “정의” 했다고도 할수 있지만, 아직 우리는 많이 부족하다.

$x^2=2$ 를 만족하는 해 $x$ 가 존재하는가? 라는 질문에 대해 우리는 (귀류법을 통해서) “그런 유리수는 없다” 라는 답변을 얻는다.

하지만 여기서 “위 식을 만족하는 새로운 수” 를 “정의” 할수 있게 된다 . (이것이 실수!)¹

우선 실수의 formal 한 정의를 알아보도록 하자. 해석학의 스탠다드 교제인 루딘의 책에 따르면 실수$\mathbb{R}$ 는 “최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가지는 순서체(ordered field)” 이라고 한다 (?)

아무래도 이해를 하려면 좀더 공부가 필요해 보인다.

순서 집합

우선 순서 집합(Ordered) 에 대해 알아보자.

[!정의] 순서

어떤 집합 $S$ 에 대하여 $<$ 라는 기호를 이용하여 나타낼수 있는 관계가 있고, 아래의 두 조건을 만족하면 순서가 있다 라고 한다. ($x,y,z\in S$)
1.  Law of trichotomy (삼분법칙): $x<y,x=y,y<x$ 중 오직 하나만 참이다
2. Transitivity (추이성): $x<y,y<z\therefore x<z$ 가 성립한다.

[!정의] 순서집합

이러한 조건을 만족하는 집합 $S$ 를 순서집합 이라고 한다²

우선 자연수 $\mathbb{N}$ 와 정수 $\mathbb{Z}$는 순서집합 이라고 하면 (과연 그럴까? 라고 고민해 보자…)

우선, 유리수는 과연 순서집합 일까?

우선 삼분법칙을 보이자, 우리가 유리수를 정의했으므로,

양의 유리수 집합 ${\mathbb{Q}}^{+}$을 ${\mathbb{Q}}^{+}=\{\frac{n}{m}:n\in {\mathbb{Z}}_{+},m\in {\mathbb{Z}}_{+}\}$ 으로 정의하므로, 임의의 두 유리수 $p,q$에 대해 $p-q\in {\mathbb{Q}}^{+}⟹p>q$ 이고, 반대로 $q-p\in {\mathbb{Q}}^{+}⟹p<q$ 로 정의하자.³ 이렇게 우리가 “유리수” 를 “건축” 할수가 있다

그렇다면 추이성을 어떻게 증명할수 있을까?

[!증명]

$(x<y)\wedge (y<z)\to (x<z)$ ($x,y,z\in \mathbb{Q}$ 에 대하여),
생각의 흐름: 삼분법칙을 이용해야 한다, $(x<y)\wedge (y<z)$ 을 이용해서 $(z-x)\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}$ 를 보이면 위의 정의를 이용해서 $(x<z)$ 가 성립한다.
여기서 우리는 아주 중요한 트릭을 사용한다! $z-x=(z-y)+(y-x)$ 이다,⁴ $(z-y)\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}},(y-x)\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}\therefore (z-x)\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}$ 이다.

(사실 루딘의 해석학은 $\mathbb{Q}$ 에 대해서는 간단히 넘어가기는 한다.)

Upper&Lower Bound, Supremum,Infimum

우선 우리는 순서 집합 이 무엇인지 배웠다, 그렇다면 최소상계 성질(least-upper-bound property) 이 무엇인지 탐구해 보자.

상계 와 하계

[!정의] 위로 유계 (bounded above)

순서집합 $S$ 의 부분집합 $E$ 에 대해서, $$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\exists }\beta \in S\text{ S.T. }x\le \beta ⟺E\text{ is }\mathbf{\text{bounded above,}}\beta \text{ is an }\mathbf{\text{upper bound}}\text{ of }E$$

[!정의] 아래로 유계 (bounded below)

순서집합 $S$ 의 부분집합 $E$ 에 대해서, $$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\exists }\gamma \in S\text{ S.T. }\gamma \le x⟺E\text{ is }\mathbf{\text{bounded below,}}\gamma \text{ is an }\mathbf{\text{lower bound}}\text{ of }E$$

왜 이렇게 상계와 하계를 정의하는 걸까? 이후 다룰 내용인 sup,inf 의 정의를 보고 생각한다면 조금 이해가 갈것이다.

그리고 이제부터 유계 라는 말을 많이 쓸것이다.

[!정의] 유계

순서 집합의 부분집합 $E$ 가 위로 유계 이고 아래로 유계이다. $⟺$ 집합 $E$ 가 유계이다.

Sup 과 Inf

[!정의] $sup$

공집합이 아닌 집합 $E$ 에 대하여 bounded above 라고 하자, 이때 upper bound 의 집합 중에서 가장 작은 원소 를 least upper bound ($=supE$) 라고 정의한다.

이와 마찬가지로,

[!정의] $inf$

공집합이 아닌 집합 $E$ 에 대하여 bounded below 라고 하자, 이때 lower bound 의 집합 중에서 가장 큰 원소 를 greatest upper bound ($=infE$) 라고 정의한다.

이제 그림을 이용해 시각화를 해 보자.

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최소상계, 최대하계 성질

이제 최소 상계, 하계에 대해 배웠으니, 이를 이용한 실수의 정의(혹은 특징)를 파악해 봐야 한다.

[!정의] least upper bound property

$E\subset S,E\ne \mathrm{\varnothing },E\text{ is }\mathbf{\text{bounded above }}⟹\mathrm{\exists }supE\in S$ 라면 순서 집합 $S$ 는 least upper bound property 를 가진다.

[!정의] greatest lower bound property

$E\subset S,E\ne \mathrm{\varnothing },E\text{ is }\mathbf{\text{bounded below }}⟹\mathrm{\exists }infE\in S$ 라면 순서 집합 $S$ 는 greatest lower bound property 를 가진다.

$\mathbb{Q}$ 는 위의 두 성질을 가지지 않음을 알수 있다.

[!예시]

$S=\mathbb{Q}$ 라고 하자, $E=\{x:x^2\le 2,x\in \mathbb{Q}\}$ 라고 하자, 이 집합 $E$ 는 위로 유계이다 ($1.5$ 등등..) 즉, 최소 상계, 하계 조건의 전재를 모두 만족한다. 일단 상계의 집합을 보자 $A=\{x:x^2>2,x\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}\}$ 여기서 $\mathrm{\exists }supE(=\text{가장 작은 }A\text{의 원소})\in S$ 인지를 확인해 보자, suppose that $\mathrm{\exists }\alpha =supE\in A$ , 그리고 $A$ 의 가장 작은 원소 가 $\alpha$ 라고 하자, 이때 $\alpha +\frac{2-{\alpha }^2}{2+\alpha }\in A$ 이고, $\alpha >\alpha +\frac{2-{\alpha }^2}{2+\alpha }$ 이므로 $\alpha =supE$ 라는 가정은 모순이다. 그러므로 $\mathbb{Q}$ 의 부분집합 $E$ 는 $supE$ 를 가지지 않으므로 $\mathbb{Q}$ 는 최소상계 성질을 가지지 않는다. ^{5 6}

[!정리]

순서집합 $S$ 가 최소상계성질을 가진다고 하자,

Let $B\subset S,B\ne \mathrm{\varnothing },B\text{ is }\mathbf{\text{bounded below}}⟹infB\text{ exists}(\text{in }S)$ (최대하계성질을 $S$ 가 가진다!)

[!증명]

집합 $L$ 을 $L=B\text{ 의 모든 lower bound 의 집합 }$ 이라고 정의를 하자, 그렇다면 $L\ne \mathrm{\varnothing },L\text{ is bounded above}$ (정의에 의해…)
$L=\{y:y\in S,y\le x(\mathrm{\forall }x\in B)\}$ 모든 $x\in B$ 는 $L$ 의 상계 이다. ($L$ 은 bounded above 이고,$L$ 의 해당 정의를 통해 $B$ 가 $L$의 상계들 집합이 된다.)
$supL(=\alpha )\in S$ 가 존재한다, $\because L\subset S,S\text{ has least upper bound property}$
이제 $\alpha =infB$ 임을 보여야 한다,

W.T.S. :
1. $\alpha \in B\text{의 하계 집합}$
2. 만약 $\alpha <\beta$ 라면, $\beta$ 는 $B$ 의 하계가 아니다.

1번 : 어떤 $x\in B$ 에 대해 $x<\alpha$ 라고 가정하자, 그러면 $\alpha =supL$ 이므로 $x$ 는 $L$ 의 상계가 아니다, 그러나 이는 모순이다. 그러므로 $\alpha \in B$ 이다.

2번: $\alpha <\beta$ 인 $\beta$ 가 $B$ 의 하계 라고 가정하자, $\beta \in L$ 이므로 $\beta \le supL(=\alpha )$ 이므로 모순이다.

여기서 더욱더 큰 것은,

[!정리] 동치조건

$$\text{최대상계성질 가짐}⟺\text{최소상계성질 가짐}$$

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1. note: 여기서 $x^2=2$ 를 $x^2=-1$ 로 바꾸면 “복소수” 를 정의하는 과정과 같다! 하지만 우리가 복소수를 실수에 비해 괴리를 느끼는 이유는 고작 “우리가 사는 세상에 있는가?” 라는 차이 하나 뿐이다.↩︎

2. 정의는 필요충분조건 임을 기억하자.
   $\therefore$ 집합의 모든 원소가 삼분법칙, 추이성을 가진다 $⟺$ 순서집합이다.↩︎

3. $p-q,q-p\in \mathbb{Q}$ 를 장담할수 있는가? 라는 질문도 고민해 보자 (닫혀 있다의 증명!)↩︎

4. 이것이 정말 자명한가? 일단 $x,y\in \mathbb{Q}$ 에 대해서 $(y-x)\in {\mathbb{Q}}^{\mathbb{+}}⟺x<y$ 인지 (즉 우리가 정의한것의 역) 를 봐야한다는 문제가 있다.↩︎

5. 이렇게 잡는것도 유용한 트릭이다. 숙지하도록 하자.↩︎

6. 그리고 이 예시에서 알수있는 점이 있다. 바로 두 유리수 $a,b$ 사이에는 무한한 유리수가 있다는 거다 (난 왜 이 당연한걸 이제서야 깨닿은걸까….)↩︎