해석학- 집합의 성질들

01-01-집합의 성질들

Before We Start…

우리는 지금까지 미적분학 을 배우면서 practical 한 수학에 있었다. 특히 벡터 미적분학은 물리를 위한 수학이라고 불러도 무방할 정도로 물리와의 깊은 연관을 보여주었다. 하지만 우리는 물리학자가 아닌 수학자, 결국 순수수학의 세상으로 빠질 대비가 필요해진다.
이런 “수학으로의 빠짐” 의 초석이라 할수있는 해석학 을 시작해 보자.

우선 아주 중요한 사실 하나를 집고 넘어가도록 하자, 그건 바로 이 세상의 모든건 추상 을 통해 만들어진 것이다. 즉 우리는 이제부터 자연수, 유리수 ,정수를 전부 우리가 엄밀한 정의를 통해서 만들어낸 대상으로 보아야 한다는 것이다.

실수의 정의 (“건축”)

[!정의]

\[\begin{align*} &\mathbb{N} = \{ 1,2,3, \cdots\} \\ &\mathbb{Z} = \{ \dots -3,-2,-1 , 0 ,1,2,3,\cdots \} \\ & \mathbb{Q} = \left\{ \frac{n}{m} ~|~ n,m \in \mathbb{Z} , m \neq0\right \} \end{align*} \]

을 통해서 우리는 자연수,정수,유리수를 정의했다.

이정도면 충분하게 많은 종류의 수들을 “정의” 했다고도 할수 있지만, 아직 우리는 많이 부족하다.

\(x^2 =2\) 를 만족하는 해 \(x\) 가 존재하는가? 라는 질문에 대해 우리는 (귀류법을 통해서) “그런 유리수는 없다” 라는 답변을 얻는다.

하지만 여기서 “위 식을 만족하는 새로운 수” 를 “정의” 할수 있게 된다 . (이것이 실수!)¹

우선 실수의 formal 한 정의를 알아보도록 하자. 해석학의 스탠다드 교제인 루딘의 책에 따르면 실수\(\mathbb{R}\) 는 “\(Q\) 를 부분집합으로 가지는 최소상계 성질(least-upper-bound property)을 가지는 순서체(ordered field)” 이라고 한다 (?)

아무래도 이해를 하려면 좀더 공부가 필요해 보인다.

순서 집합

우선 순서 집합(Ordered) 에 대해 알아보자.

[!정의] 순서

어떤 집합 \(S\) 에 대하여 \(<\) 라는 기호를 이용하여 나타낼수 있는 관계가 있고, 아래의 두 조건을 만족하면 순서가 있다 라고 한다. (\(x,y,z \in S\))
1.  Law of trichotomy (삼분법칙): \(x <y ,x=y, y< x\) 중 오직 하나만 참이다
2. Transitivity (추이성): \(x <y , y<z ~~ \therefore x<z\) 가 성립한다.

[!정의] 순서집합

이러한 조건을 만족하는 집합 \(S\) 를 순서집합 이라고 한다²

우선 자연수 \(\mathbb{N}\) 와 정수 \(\mathbb{Z}\)는 순서집합 이라고 하면 (과연 그럴까? 라고 고민해 보자…)

우선, 유리수는 과연 순서집합 일까?

우선 삼분법칙을 보이자, 우리가 유리수를 정의했으므로,

양의 유리수 집합 \(\mathbb{Q}^+\)을 \(\mathbb{Q}^+ = \{\frac{n}{m} : n \in \mathbb{Z}_+, m \in \mathbb{Z}_+\}\) 으로 정의하므로, 임의의 두 유리수 \(p, q\)에 대해 \(p - q \in \mathbb{Q}^+ \implies p > q\) 이고, 반대로 \(q - p \in \mathbb{Q}^+ \implies p < q\) 로 정의하자.³ 이렇게 우리가 “유리수” 를 “건축” 할수가 있다

그렇다면 추이성을 어떻게 증명할수 있을까?

[!증명]

\((x<y) \wedge (y <z) \to (x<z)\) (\(x,y,z \in \mathbb{Q}\) 에 대하여),
생각의 흐름: 삼분법칙을 이용해야 한다, \((x<y) \wedge (y <z)\) 을 이용해서 \((z-x) \in \mathbb{Q^+}\) 를 보이면 위의 정의를 이용해서 \((x<z)\) 가 성립한다.
여기서 우리는 아주 중요한 트릭을 사용한다! \(z-x = (z-y) +(y-x)\) 이다,⁴ \((z-y)\in \mathbb{Q^+} , (y-x)\in \mathbb{Q^+} \therefore (z-x) \in \mathbb{Q^+}\) 이다.

(사실 루딘의 해석학은 \(\mathbb{Q}\) 에 대해서는 간단히 넘어가기는 한다.)

Upper&Lower Bound, Supremum,Infimum

우선 우리는 순서 집합 이 무엇인지 배웠다, 그렇다면 최소상계 성질(least-upper-bound property) 이 무엇인지 탐구해 보자.

상계 와 하계

[!정의] 위로 유계 (bounded above)

순서집합 \(S\) 의 부분집합 \(E\) 에 대해서, \[\forall x \in E, \exists \beta \in S ~\text{ S.T. }x\leq \beta \iff E \text{ is }\textbf{bounded above,} \beta \text{ is an }\textbf{upper bound} of E \]

[!정의] 아래로 유계 (bounded below)

순서집합 \(S\) 의 부분집합 \(E\) 에 대해서, \[\forall x \in E, \exists \gamma \in S ~\text{ S.T. }\gamma \leq x \iff E \text{ is }\textbf{bounded below,} \gamma \text{ is an} \textbf{lower bound of }E\]

왜 이렇게 상계와 하계를 정의하는 걸까? 이후 다룰 내용인 sup,inf 의 정의를 보고 생각한다면 조금 이해가 갈것이다.

그리고 이제부터 유계 라는 말을 많이 쓸것이다.

[!정의] 유계

순서 집합의 부분집합 \(E\) 가 위로 유계 이고 아래로 유계이다. \(\iff\) 집합 \(E\) 가 유계이다.

Sup 과 Inf

[!정의] \(\sup\)

공집합이 아닌 집합 \(E\) 에 대하여 bounded above 라고 하자, 이때 upper bound 의 집합 중에서 가장 작은 원소 를 least upper bound (\(=\sup E\)) 라고 정의한다.

이와 마찬가지로,

[!정의] \(\inf\)

공집합이 아닌 집합 \(E\) 에 대하여 bounded below 라고 하자, 이때 lower bound 의 집합 중에서 가장 큰 원소 를 greatest upper bound (\(=\inf E\)) 라고 정의한다.

이제 그림을 이용해 시각화를 해 보자.

최소상계, 최대하계 성질

이제 최소 상계, 하계에 대해 배웠으니, 이를 이용한 실수의 정의(혹은 특징)를 파악해 봐야 한다.

[!정의] least upper bound property

\(E \subset S ,E \neq \emptyset,E \text{ is }\textbf {bounded above } \implies \exists \sup E \in S\) 라면 순서 집합 \(S\) 는 least upper bound property 를 가진다.

[!정의] greatest lower bound property

\(E \subset S ,E \neq \emptyset,E \text{ is }\textbf {bounded below } \implies \exists \inf E \in S\) 라면 순서 집합 \(S\) 는 greatest lower bound property 를 가진다.

\(\mathbb{Q}\) 는 위의 두 성질을 가지지 않음을 알수 있다.

[!예시]

\(S=\mathbb{Q}\) 라고 하자, \(E= \{x: x^2 \leq 2 , x \in \mathbb{Q} \}\) 라고 하자, 이 집합 \(E\) 는 위로 유계이다 (\(1.5\) 등등..) 즉, 최소 상계, 하계 조건의 전재를 모두 만족한다. 일단 상계의 집합을 보자 \(A= \{ x: x^2 > 2 , x \in \mathbb{Q^+} \}\) 여기서 \(\exists \sup E(=\text{가장 작은 }A \text{의 원소})\in S\) 인지를 확인해 보자, suppose that \(\exists \alpha= \sup E \in A\) , 그리고 \(A\) 의 가장 작은 원소 가 \(\alpha\) 라고 하자, 이때 \(\alpha + \frac{{2-\alpha^2}}{2+\alpha} \in A\) 이고, \(\alpha > \alpha +\frac{{2-\alpha^2}}{2+\alpha}\) 이므로 \(\alpha = \sup E\) 라는 가정은 모순이다. 그러므로 \(\mathbb{Q}\) 의 부분집합 \(E\) 는 \(\sup E\) 를 가지지 않으므로 \(\mathbb{Q}\) 는 최소상계 성질을 가지지 않는다. ^{5 6}

[!정리]

순서집합 \(S\) 가 최소상계성질을 가진다고 하자,

Let \(B \subset S ,B \neq \emptyset,B \text{ is }\textbf {bounded below} \implies \inf B \text{ exists}~(\text{in } S)\) (최대하계성질을 \(S\) 가 가진다!)

[!증명]

집합 \(L\) 을 \(L= B\text{ 의 모든 lower bound 의 집합 }\) 이라고 정의를 하자, 그렇다면 \(L \neq \emptyset,L \text{ is bounded above}\) (정의에 의해…)
\(L= \{ y: y \in S, y\leq x ~(\forall x \in B) \}\) 모든 \(x \in B\) 는 \(L\) 의 상계 이다. (\(L\) 은 bounded above 이고,\(L\) 의 해당 정의를 통해 \(B\) 가 \(L\)의 상계들 집합이 된다.)
\(\sup L~(= \alpha ) \in S\) 가 존재한다, \(\because L \subset S, S \text{ has least upper bound property}\)
이제 \(\alpha = \inf B\) 임을 보여야 한다,

W.T.S. :
1. \(\alpha \in B\text{의 하계 집합}\)
2. 만약 \(\alpha < \beta\) 라면, \(\beta\) 는 \(B\) 의 하계가 아니다.

1번 : 어떤 \(x \in B\) 에 대해 \(x < \alpha\) 라고 가정하자, 그러면 \(\alpha = \sup L\) 이므로 \(x\) 는 \(L\) 의 상계가 아니다, 그러나 이는 모순이다. 그러므로 \(\alpha \in B\) 이다.

2번: \(\alpha < \beta\) 인 \(\beta\) 가 \(B\) 의 하계 라고 가정하자, \(\beta \in L\) 이므로 \(\beta \leq \sup L (=\alpha)\) 이므로 모순이다.

중요한 트릭

여기서 볼수 있다시피,

\(\alpha = \inf E\) 를 보이려면, 정의에 따라서 1. \(\alpha \in E \text{ 의 하계 집합}\) 2. if \(\alpha < \gamma\) then, \(\gamma \not\in E \text{의 하계 집합}\)

을 차근차근 보이면 된다. 마찬가지로,

\(\alpha = \sup E\) 를 보이려면, 정의에 따라서 1. \(\alpha \in E \text{ 의 상계 집합}\) 2. if \(\alpha > \gamma\) then, \(\gamma \not\in E \text{의 상계 집합}\)

동치 조건

여기서 더욱더 큰 것은, (위의 증명을 직접 해보면 쉽게 알수 있게 된다. )

[!정리] 동치조건

\[\text{최대상계성질 가짐} \iff \text{최소상계성질 가짐}\]

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1. note: 여기서 \(x^2 =2\) 를 \(x^2 =-1\) 로 바꾸면 “복소수” 를 정의하는 과정과 같다! 하지만 우리가 복소수를 실수에 비해 괴리를 느끼는 이유는 고작 “우리가 사는 세상에 있는가?” 라는 차이 하나 뿐이다.↩︎

2. 정의는 필요충분조건 임을 기억하자.
   \(\therefore\) 집합의 모든 원소가 삼분법칙, 추이성을 가진다 \(\iff\) 순서집합이다.↩︎

3. \(p-q , q-p \in \mathbb{Q}\) 를 장담할수 있는가? 라는 질문도 고민해 보자 (닫혀 있다의 증명!)↩︎

4. 이것이 정말 자명한가? 일단 \(x,y \in \mathbb{Q}\) 에 대해서 \((y-x) \in \mathbb{Q^+} \iff x<y\) 인지 (즉 우리가 정의한것의 역) 를 봐야한다는 문제가 있다.↩︎

5. 이렇게 잡는것도 유용한 트릭이다. 숙지하도록 하자.↩︎

6. 그리고 이 예시에서 알수있는 점이 있다. 바로 두 유리수 \(a,b\) 사이에는 무한한 유리수가 있다는 거다 (난 왜 이 당연한걸 이제서야 깨닿은걸까….)↩︎