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기초미적분학 정리

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내적이란 무엇

• Dot Product Theorem: \(u \cdot v = |u||v|\cos \theta\)
• 이 공식을 살짝 비틀면, Component만 알아도 두 Vector 사이의 각도를 알아낼 수 있다. 공식은 \(\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u||v|}\) 이다

그렇기에 \(u \cdot v = 0 \iff \text{서로 수직}\) 이라는 결론을 얻는다

Component & Projection (스칼라 정사영과 벡터 정사영)

어떤 Vector \(u\)가 다른 Vector \(v\) 방향으로 얼마나 뻗어있는지 ’그림자’를 구하는 거다

t of \(u\) along \(v\) (스칼라 정사영):

• 이건 \(u\) 중에서 \(v\) 방향을 가리키는 부분의 Magnitude(크기)를 말한다.
• 기하학적으로는 \(|u|\cos \theta\) 로 계산한다. (만약 각도 \(\theta\)가 \(\frac{\pi}{2}\) ​보다 크면, 반대 방향이라서 그림자 길이는 마이너스가 나온다! ).
• Dot Product를 쓰면 공식은 \(\text{comp}_{v}u = \frac{u \cdot v}{|v|}\) 가 된다
• 예시: 비탈길에 주차된 자동차의 무게(\(w\))를 비탈길과 평행한 힘(\(u\))과 수직인 힘(\(v\))으로 쪼갤 수 있다. 차가 아래로 구르려는 힘의 크기나 바닥을 누르는 힘의 크기 모두 이 Component 개념을 써서 계산하는 거다!.

Projection of \(u\) onto \(v\) (벡터 정사영):

• 위에서 구한 그림자 크기(Component)에다가 실제 \(v\)의 방향(Direction)을 입혀서 진짜 새로운 Vector로 만드는 거다.
• Component 크기인 \((\frac{u \cdot v}{|v|})\) 에다가 \(v\) 방향의 Unit vector(길이가 1인 벡터)인 \(\frac{v}{|v|}\) 를 곱해준다.
• 결과적으로 공식은 \(\text{proj}_{v}u = \left(\frac{u \cdot v}{|v|^{2}}\right)v\) 가 된다!. 이걸 쓰면 아무 Vector \(u\)나 두 개의 조각으로 완벽하게 분해할 수 있다!

1. \(v\)랑 평행한 조각 (\(u_{1}\)): \(\text{proj}_{v}u\).
2. \(v\)랑 직교하는 조각 (\(u_{2}\)): 전체에서 평행한 걸 뺀 \(u - \text{proj}_{v}u\).

Pasted image 20260619043802.png

Work (물리에서의 ‘일’)

물리학이나 공학에서 Dot Product가 제일 많이 쓰이는 곳이 바로 Work(일) 계산이다 우가!.

\[ F = \vec{W} \cdot \vec{D} \]

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삼차원의 백터

당연히 삼차원에서도 \(u \cdot v =0\) 이면 서로직교하는 거다. (\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}= u \cdot v = |u||v|\cos \theta\))

방향 백터

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\[ \begin{align} \cos \alpha = \frac{{\mathbf{v} \cdot{ \mathbf{i}}}}{|\mathbf{v}||\mathbf{i}|} = \frac{a\_{1}}{|\mathbf{v}|} \\ \\ \cos \beta = \frac{{\mathbf{v} \cdot{ \mathbf{j}}}}{|\mathbf{v}||\mathbf{j}|} = \frac{a\_{2}}{|\mathbf{v}|} \\ \\ \cos \gamma = \frac{{\mathbf{v} \cdot{ \mathbf{k}}}}{|\mathbf{v}||\mathbf{k}|} = \frac{a\_{3}}{|\mathbf{v}|} \end{align} \]

when \(\mathbf{v}= \langle a_{1},a_{2},a_{3} \rangle\)

이때 중요한 성질이 있다

\[\cos ^{2}\alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2}\gamma =1\]

크로스 프로덕트

\(u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \ a_{1} & a_{2} & a_{3} \ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{2} & a_{3} \ b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}i - \begin{vmatrix} a_{1} & a_{3} \ b_{1} & b_{3} \end{vmatrix}j + \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}k\) 그렇기에 크로스 프러덕트는 백터를 produce 한다

where \(u = \langle a_{1},a_{2},a_{3} \rangle , v = \langle b_{1} ,b_{2}, b_{3} \rangle\)

이때 \[ |u \times v| = |u||v| \sin \theta\] 이다! (아하 크로스 프로덕트의 크기는 평행사변형의 넓이)

또한 라이트핸드 룰을 기억하자

특별한 조합

\(u \cdot ( v \times w)\) 는 순서가 어찌되어도 늘 같다! (이거를 \(u,v,w\) 의 scalar triple product) 라고 부른다

이는 \(u,v,w\) 가 만드는 정육면체의 부피를 의미한다

\[ u \cdot (v\times w) = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}\]

\(u = \langle a_{1},a_{2},a_{3} \rangle ,v = \langle b_{1},b_{2},b_{3} \rangle,w = \langle c_{1},c_{2},c_{3} \rangle\)

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직선

선을 만들려면 당연히 시작점과 방향백터(기울기) 가 있어야 한다

그렇기에

\[\vec{r} = r_{0} +tv \] 여기서 \(v\) 는 방향 백터가 된다 또는 저 식을 풀어서 \(v= \langle a,b,c \rangle\)

\[ r(t)=\begin{cases} x = x\_{0} + at \\ y = y\_{0} + bt \\ z= z\_{0} +ct \end{cases} \]

이런식으로 할수도 있다는 거다 당연히 저 둘을 변환할수 있어야 한다

평면

일단 평면을 만드려면 점 \(P\) 하나와 법선백터 \(\vec{n}\) 이 필요하다!

예시 \(P= \langle 1,2,3 \rangle,\vec{n}= \langle 7,8,9 \rangle\) 이면 평면의 방정식은

\[7(x-1)+2(y-8)+3(z-9)=0\]

이 된다 우가우가

\(𝑥\)-intercept: Setting \(𝑦\) = 0, \(𝑧\) = 0, \(𝑦\)-intercept: Setting \(𝑥\) = 0, 𝑧 = 0, \(𝑧\)-intercept: Setting \(𝑥\) = 0, \(𝑦\) = 0,

당연히 저것들은 교선이기 때문에 선 공식이 나온다 음음

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행렬

\(2\times 2\) 행렬 \(A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)일 때 공식: \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\).

• \(n\times n\) 행렬일 때: 행렬 왼쪽에 \(A\), 오른쪽에 \(I_{n}\)을 붙여서 거대한 행렬 \([A | I_{n}]\)을 만든다.

• 기본 행 연산(elementary row operations)을 지지고 볶아서 왼쪽을 기어코 \(I_{n}\)으로 만든다 (Reduced row-echelon form 만들기). 그러면 오른쪽은 자동으로 역행렬 \(A^{-1}\)이 된다.

• 연산 도중 왼쪽에 0으로만 꽉 찬 행(row of zeros)이 발견된다면 원래 행렬은 역행렬이 없는 거다.

• Theorem 12. Determinant of \(n\times n\) Matrix (\(n\times n\) 행렬식 구하기)

• 행렬의 아무 행(row)이나 열(column) 하나를 타겟으로 잡는다.

• 그 줄에 있는 각 원소와 짝이 맞는 여인수를 곱한 뒤 전부 더한다 (예: \(\det(A)=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}\)).

• 어떤 행/열을 잡고 풀든 결과는 무조건 똑같이 나온다.

• 가역성 판별 (Invertibility criterion): 행렬식이 0이 아니어야만 역행렬이 존재한다 (\(\det(A)\neq 0\)).

• Theorem 13. Row and Column Transformations (행렬식 꼼수)

• 어떤 행(또는 열)에다가 다른 행(또는 열)의 상수배를 더해도 행렬식 값은 절대 변하지 않는다.

• 이 성질을 이용해 특정 줄에 0을 잔뜩 만들어놓고 전개하면 계산이 미친 듯이 편해진다.

\(4 \times 4\)나 \(5 \times 5\) 같은 더 큰 행렬식을 방금 배운 ’십자가 지우기(여인수 전개)’로 그냥 풀려고 하면 진짜 지옥(Hell)파티가 열립니다.

\(4 \times 4\)를 풀려면 \(3 \times 3\)을 4번 계산해야 하고, 또 그걸 위해 \(2 \times 2\)를 12번 계산해야 하거든요.

그래서 교수님도 강의 자료(11-3 파트의 Example 5)에 4x4 이상을 푸는 ‘치트키(Row Operations, 행 연산)’를 넣어두셨습니다! 원리는 아주 단순합니다.

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💡 4x4 이상 행렬식 푸는 치트키: “강제로 0 만들기”

수학자들은 아주 놀라운 마법의 규칙을 하나 발견했습니다. > “행렬의 어느 한 줄에다가, 다른 줄을 몇 배 해서 더하거나 빼도 행렬식의 결과 값은 절대 변하지 않는다!”

이 성질을 이용해서 우리가 타겟으로 잡을 한 줄을 강제로 0 투성이로 만들어 버리는 것이 핵심입니다.

[어떻게 하는 건가요?] 예를 들어, 4x4 행렬의 첫 번째 세로줄이 다음과 같다고 해볼게요. \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}\)

1. 맨 위의 1을 무기로 삼습니다.
2. 두 번째 줄에서 첫 번째 줄의 2배를 뺍니다. \(\rightarrow\) 2가 0이 됩니다.
3. 세 번째 줄에는 첫 번째 줄을 그냥 더합니다. \(\rightarrow\) -1이 0이 됩니다.
4. 네 번째 줄에는 첫 번째 줄의 3배를 뺍니다. \(\rightarrow\) 3이 0이 됩니다.

이렇게 조작하고 나면 첫 번째 세로줄이 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\) 으로 변신합니다!

[그러면 왜 좋은가요?] 이제 이 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\) 줄을 타겟으로 잡고 아까 배운 ‘십자가 지우기’를 시전합니다.

원래라면 숫자가 4개니까 십자가를 4번 그어야 하지만, 밑에 3개가 다 0이니까 계산할 필요 없이 다 날아갑니다. 결국 맨 위의 1에 대해서만 십자가를 딱 한 번 긋고 남은 \(3 \times 3\) 행렬식 하나만 계산하면 끝나는 겁니다.

(\(3 \times 3\)도 똑같은 짓을 해서 0을 두 개 만들면, 순식간에 \(2 \times 2\) 행렬식 하나로 쪼그라듭니다.)

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🔥 결론 (시험 풀이 전략) * \(2 \times 2\) 행렬식: 그냥 \(X\)자로 곱해서 뺀다. (\(ad-bc\)) * \(3 \times 3\) 행렬식: 원래 0이 있는 줄을 찾아서 ’십자가 지우기’를 한다. * \(4 \times 4\) 이상 행렬식: 그냥 십자가 지우기를 하면 날 새니까, 먼저 다른 줄을 더하고 빼서 한 줄을 0 밭으로 만들어 놓고 십자가를 긋는다.

(참고: 만약 행렬식이 아니라 \(3 \times 3\) 이상의 ‘역행렬’을 구하는 거라면, 이건 공식이 아예 없습니다. 이때는 강의 자료 11-2에 나온 것처럼 옆에 단위행렬 \(I\)를 붙여놓고 막 더하고 빼는 ‘가우스 소거법’ 노가다를 해야 합니다. 그래서 보통 시험에서 \(4 \times 4\) 역행렬을 직접 구하라는 문제는 시간이 너무 오래 걸려서 잘 내지 않습니다.)

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포물선 (Parabolas)

정의: 고정된 점(초점, \(F\))과 고정된 직선(준선, \(l\))으로부터 거리가 완벽히 똑같은 점(\(P\))들의 자취.

① 수직 축 (위/아래로 열린 형태) * 방정식: \(x^2 = 4py\) * 초점 (Focus): \(F(0, p)\) * 준선 (Directrix): \(y = -p\) * 특징: \(p > 0\)이면 위로 볼록(U자 모양), \(p < 0\)이면 아래로 볼록

② 수평 축 (좌/우로 열린 형태) * 방정식: \(y^2 = 4px\) * 초점 (Focus): \(F(p, 0)\) * 준선 (Directrix): \(x = -p\) * 특징: \(p > 0\)이면 오른쪽으로 열림, \(p < 0\)이면 왼쪽으로 열림

③ 공통 공식 * 초점 지름 (Focal diameter / 통경의 길이): \(|4p|\) (포물선의 ’너비’를 결정)

타원 (Ellipses)

정의: 두 고정된 점(초점, \(F_1, F_2\))으로부터의 거리의 합이 일정한 점(\(P\))들의 자취. 기본 조건: \(a > b > 0\) 이며, \(c^2 = a^2 - b^2\) (\(c\)는 중심에서 초점까지의 거리)

① 수평 장축 (가로로 긴 타원) - 방정식: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) - 꼭짓점 (Vertices): \((\pm a, 0)\) - 초점 (Foci): \((\pm c, 0)\)

② 수직 장축 (세로로 긴 타원) - 방정식: \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\) - 꼭짓점 (Vertices): \((0, \pm a)\) - 초점 (Foci): \((0, \pm c)\)

③ 공통 공식 - 장축의 길이 (Major Axis): \(2a\) - 단축의 길이 (Minor Axis): \(2b\) - 이심률 (Eccentricity, \(e\)): \(e = \frac{c}{a}\) (0 < \(e\) < 1 범위이며, 0에 가까울수록 원에 가깝고 1에 가까울수록 길쭉해집니다.)

쌍곡선 (hyperbola)

정의: 두 고정된 점(초점, \(F_1, F_2\))으로부터의 거리의 차가 일정한 점(\(P\))들의 자취.

💡 가장 중요한 핵심 규칙 (타원과 헷갈림 주의!)

• 쌍곡선에서는 초점 구하는 공식이 다릅니다: \(c^2 = a^2 + b^2\)
• 어느 문자(\(x\) 또는 \(y\))의 항이 양수(+)인지에 따라 열리는 방향(주축)이 결정됩니다. (\(a\)가 \(b\)보다 클 필요가 없습니다.)

가로로 열린 쌍곡선 (주축이 x축)

\(x^2\) 항이 양수(+)인 경우입니다. 좌우로 벌어지는 모양입니다.

• 방정식: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
• 꼭짓점 (Vertices): \((\pm a, 0)\)
• 초점 (Foci): \((\pm c, 0)\)
• 점근선 (Asymptotes): \(y = \pm \frac{b}{a}x\)

세로로 열린 쌍곡선 (주축이 y축)

\(y^2\) 항이 양수(+)인 경우입니다. 위아래로 벌어지는 모양입니다.

• 방정식: \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\)
• 꼭짓점 (Vertices): \((0, \pm a)\)
• 초점 (Foci): \((0, \pm c)\)
• 점근선 (Asymptotes): \(y = \pm \frac{a}{b}x\)

3. 공통 공식

• 주축의 길이 (Transverse Axis): \(2a\) (두 꼭짓점 사이의 거리이며, 초점으로부터 거리의 차이와 같습니다.)

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등차수열 (Arithmetic Sequences)

일정하게 더해지는 수열 (\(a\): 첫째항, \(d\): 공차)

• 일반항 (\(n\)번째 항): \(a_n = a + (n-1)d\)
• \(n\)항까지의 부분합 (\(S_n\)):
  • 첫 항과 끝 항(\(a_n\))을 알 때: \(S_n = \frac{n(a + a_n)}{2}\)
  • 공차(\(d\))를 알 때: \(S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}\)

등비수열 (Geometric Sequences)

일정하게 곱해지는 수열 (\(a\): 첫째항, \(r\): 공비)

• 일반항 (\(n\)번째 항): \(a_n = a r^{n-1}\)
• \(n\)항까지의 부분합 (\(S_n\)): \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\) (단, \(r \neq 1\))

무한등비급수 (Infinite Geometric Series) ★시험 단골★

등비수열을 끝없이 계속 더할 때 쓰는 공식입니다.

• 수렴 조건 (합이 구해질 조건): \(|r| < 1\) (즉, \(-1 < r < 1\))
• 무한합 공식: \(S = \frac{a}{1 - r}\) (가장 많이 쓰이는 초간단 공식입니다!)

시그마(\(\sum\)) 거듭제곱 합 공식 (무조건 암기)

수열의 합을 계산할 때(특히 13-3단원) 무조건 튀어나오는 공식입니다.

• \(\sum_{k=1}^n 1 = n\) (1을 n번 더함)
• \(k\)의 합: \(\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\)
• \(k^2\)의 합: \(\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
• \(k^3\)의 합: \(\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2\)

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보내주신 “이항정리(The Binomial Theorem)” 파트는 시험에서 ‘특정 항의 계수 구하기’ 문제로 무조건 출제되는 핵심 단원입니다.

군더더기 증명 과정은 다 빼고, 실제 문제 풀이에 100% 쓰이는 핵심 공식과 계산 성질만 깊고 확실하게 파헤쳐 드립니다.

이항계수 (Binomial Coefficients) 계산법과 꿀팁

이항정리 문제를 풀려면 기본적으로 조합 기호인 \(\binom{n}{r}\) (또는 \(nCr\))을 빠르고 정확하게 계산할 줄 알아야 합니다.

• 기본 계산 공식: \[\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\]
  • (팩토리얼 약속: \(0! = 1\) 입니다.)
  • [실전 계산법] \(\binom{9}{4}\)를 계산할 때 공식대로 팩토리얼을 다 쓰지 마세요. 분자는 9부터 거꾸로 4개 곱하고, 분모는 4부터 1까지 곱해서 나눕니다. \(\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126\)
• ★대칭성 성질 (계산 시간 단축의 핵심)★ \[\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}\]
  • 만약 \(\binom{100}{97}\)을 계산해야 한다면? \(\binom{100}{3}\)으로 바꿔서 계산하는 것이 훨씬 빠릅니다. (뒤의 숫자가 크면 무조건 앞의 숫자에서 빼서 작은 숫자로 바꾸세요.)
• 파스칼의 삼각형 성질 (이웃한 두 항의 합): \[\binom{k}{r-1} + \binom{k}{r} = \binom{k+1}{r}\]
  • 연속된 두 이항계수를 더하면, 위첨자(\(k\))는 1 커지고 아래첨자는 둘 중 큰 것(\(r\))을 따라갑니다.

이항정리 전개식 (The Binomial Theorem) 구조

\((a+b)^n\) 을 전개했을 때 나타나는 규칙성입니다.

\[(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}b^n\]

• 구조적 특징 3가지:
  1. 총 항의 개수는 \(n + 1\)개 입니다.
  2. \(a\)의 지수는 \(n\)에서 0으로 점점 작아지고, \(b\)의 지수는 0에서 \(n\)으로 점점 커집니다.
  3. 각 항에서 \(a\)의 지수와 \(b\)의 지수를 더하면 항상 \(n\)이 됩니다.

★일반항 (General Term) - 무조건 출제되는 빈출 공식★

위의 긴 전개식을 다 쓸 필요 없이, “내가 원하는 특정 항”만 쏙 뽑아내는 공식입니다. 이 공식 하나로 이 단원의 거의 모든 계산 문제를 풉니다.

• 일반항 공식: \[\binom{n}{r} a^{n-r} b^r = \binom{n}{r} a^rb^{n-r} =\binom{n}{n-r} a^{n-r}b^{r}\] (단, \(r = 0, 1, 2, \dots, n\))

• [실전 문제 풀이 적용법] 예제: \((2x + y)^{20}\) 의 전개식에서 \(x^5 y^{15}\) 가 포함된 항의 계수를 구하시오.

  1. 공식 세팅: \(a\) 자리에 \((2x)\), \(b\) 자리에 \((y)\), \(n\) 자리에 \(20\)을 넣습니다.
  2. 일반항 작성: \(\binom{20}{r} (2x)^{20-r} (y)^r\)
  3. \(r\) 값 찾기: \(y\)의 지수가 15여야 하므로, \(r = 15\) 입니다. (동시에 \(x\)의 지수 \(20-15=5\) 도 만족합니다.)
  4. 계산: \(\binom{20}{15} (2x)^5 (y)^{15}\) \(\rightarrow \binom{20}{5} \times 2^5 \times x^5 y^{15}\) (대칭성 이용: \(\binom{20}{15} = \binom{20}{5}\)) \(\rightarrow \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \times 32 \times x^5 y^{15}\)
  5. 숫자만 계산하면 정답!

[요약] 이 파트에서 살아남으려면 1) \(\binom{n}{r} a^{n-r} b^r\) 일반항 공식을 외운다. 2) 대칭성 \(\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\) 을 이용해 팩토리얼 계산을 빨리 한다. 이 두 가지만 명심하시면 됩니다!