미분적분학II - 벡터 미적분학 (WIP)

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벡터 미적분학

대충 우리는 물리학자들의 노예다. 그래서 우리는 물리학자들이 만든 수학을 설명하고 이해하는 시간을 가져보도록 한다.

벡터장 (vector field)

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함수 $F$ 가 벡터 $\mathbf{v}$ 를 받아서 다시 벡터 $\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{v}\mathbf{)}$ 를 뱉어내는 함수 $F$ 를 벡터장 이라고 한다.

ex) $F(x,y,z)=\hat{ı}P(x,y,z)+\hat{ȷ}Q(x,y,z)+\hat{k}R(x,y,z)=⟨P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)⟩$

그라디언트 필드 $F=\mathrm{\nabla }f$ 라면 벡터장 $F$ 를 그라디언트 필드라고 한다.

앗! 그런데 임의의 $F$ 에 대해서 $F=\mathrm{\nabla }f$ 라고 표현할수 있는가? ($f$ 를 찾을수 있는가?) 라고 고민할수 있다.

그렇기에 우리는 보존장 이라는 개념을 도입한다.

보존장의 정의 백터장 $F$ 에 대하여 $F=\mathrm{\nabla }f$ 인 $f$ 가 존재한다면, $F$를 보존장 이라고 한다.

##note: 화살표를 위쪽에 적어 표기한 벡터는 유클리드드 벡터 라고 부른다, 좀 더 일반적인 벡터란 의미에서는 $\mathbf{v}$ 같은 볼드 표시를 한다. 마찬가지로 백터장도 백터를 뱉기 때문에 $\mathbf{F}$ 로도 많이들 적는다.

선적분

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이 그림처럼 저 파란 곡선을 따라 함수를 적분하고 싶다면 (밑변이 저 파란 곡선이고 높이가 함수값) 선적분 을 이용해야 한다.

곡선 $C$ 에 대해

${\displaystyle \underset{C}{\int }f(x,y)ds=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^{n}f(x_k,y_k)\mathrm{\Delta }s}$ , $\mathrm{\Delta }s=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$

이떄 $ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}$ 이다.

위처럼 정의하지만, 이를 실제로 계산하는 방법을는 해당 곡선을 매계변수화 한다. 즉,

$C:\{(x(t),y(t))|a\le t\le b\}$ 이도록 하는 $x(t),y(t)$ 를 찾아내야 한다.

매계변수화에 성공했다면,

$${\displaystyle \underset{C}{\int }f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\frac{ds}{\cancel{dt}}\cancel{dt}={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x(t),y(t))\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt}}$$

을 이용해 계산을 한다. (계산을 이렇게 하는 거지 정의는 아니다!)

중요! $dx,dy$ 와 달리, $ds$ 는 방향성이 없다! 즉 적분하는 방향에 대해서는 상관이 없고, 매계변수화 할때 같은 지점을 한번만 지나도록 해야한다. 즉,$\underset{C}{\int }Fds=\underset{-C}{\int }Fds$

이때 일반적인 “구간” 이 아닌 “곡선” 을 따라 적분하는 것이므로, 곡선도 어떤 조건을 가져야 적분이 가능한것 아닌가? 라는 의문이 든다.

이에 대한 정답으로는, 모든 위치에서 미분 가능하거나, 유한한 미분 불가능점이 있는 곡선이면 적분할수 있다.

(첨점을 기점으로 곡선을 툭툭 자르면 되기 떄문이다.)

선적분…again

수학자는 물리학자들을 위해 봉사해야 한다. 그러니 일단 물리의 “work” 개념을 들고와 보자

우리는 물2? 에서 좀더 일반적인 정의를 배웠다.

$$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\text{변위}}$$

하지만, 힘 F가 위치 $(x,y)$ 에 따라 변한다면? 그리고 움직인 길이 구불구불 하다면? 어떻게 계산을 해야하는가?

직관적으로 생각해보자, “곡선” 은 아주아주 짧은 선분을 이어 붙인것이라 생각이 가능하다. 그리고 아주아주 짧은 선분을 지나는 아주아주 짧은 순간 동안, 그 힘은 사실상 일정하다. 우선 이 짧은 선분을 “$d\mathbf{r}$” 이라고 하자, 그렇다면 그 순간 한 일은 $F\cdot d\mathbf{r}$ 이다. 그리고 다시한번 적분기호 $\int$ 의 의미를 생각하자, 바로 빠바박하고 무한히 조밀학게 더하라는 의미다! 아하! 구불구불한 길을 지나며 변화하는 힘을 받으며 일한 양은

$$W=\underset{C}{\int }\overrightarrow{F}(x,y)\cdot d\mathbf{r}$$

이구나! ….그래서 $d\mathbf{r}$ 이 뭐죠?

미소 벡터의 정의 $$d\mathbf{r}=⟨dx,dy⟩$$ (왜 “미소” 벡터인지 직관적으로 감이 온다!)

이다. 그리고 벡터 $\mathbf{r}$ 은 곡선 $C$ 를 “따라가는” 벡터이다. (위치벡터? 라고 부르기도 한다) (대충 $\mathbf{r}=⟨x,y⟩$ 이고 곡선 $C=\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$) (그리고, 여기서 물리를 아는 독자라면 “위치에 따라 변하는 힘” 도 사실은 벡터장임을 눈치챌수 있다)

그렇다면 어려운 물리 이야기에서 벗어나, 새로운 선적분에 대해 논의해 보자.

$$\begin{array}{rl}& \underset{C}{\int }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}=\underset{C}{\int }P(x,y)dx+\underset{C}{\int }Q(x,y)dy\\ & \text{note:}\mathbf{F}=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩\end{array}$$

이때 저걸 진짜로 계산하는 방법들을 알아보도록 하자.

$$\begin{array}{rl}& \underset{C}{\int }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(x(t),y(t))\cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt}dt\\ & ={\int }_a^{b}P(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}dt+{\int }_a^{b}Q(x(t),y(t))\frac{dy}{dt}dt\end{array}$$

이처럼 매계변수화를 이용해 계산하는 방법이 있다.

이때 $dx,dy$ 가 붙은 선적분은 $ds$ 와 달리! 방향성이 있다! 즉, $$\underset{C}{\int }Fdx=-\underset{-C}{\int }Fdx$$ 이다.

선적분의 기본 정리

하지만 ${\displaystyle \underset{C}{\int }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}}$ 하나 구하려고 매번 매계변수를 잡고 어쩌고 하기는 너무 짜치지 않는가? 그런 당신을 위해

선적분의 기본정리 곡선 $C$ 가 점 $A$ 에서 시작해 점 $B$ 에서 끝난다면 $$\underset{C}{\int }\mathrm{\nabla }f\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A)$$

(각 점의 xy좌표를 f에 넣으면 된다)

이는 매우매우 강력한 정리이다. 백터장 $F$ 가 보존장이고, 어떤 곡선을 따라서 적분을 하던지 간에, 시작점과 끝점이 같기만 하다면, 그냥 계산이 가능하다는 거다!

그리고 여기서 “시작점과 끝점이 같기만 하다면” 에 집중해보자.

Independent of path 시작점과 끝점이 같은 두 곡선 $C_1,C_2$ 에 대하여 $$\underset{C_1}{\int }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\underset{C_2}{\int }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$라면 $\mathbf{F}$ 를 independent of path 라고 부른다

집합의 성질

“open set” 이란 무엇인가?

open 집합의 정의 집합 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 에 대하여 영역에 있는 아무 점을 중심으로 하는 작은 원이 전부 영역 $D$ 안에 있다 $⟺$ 집합 $D$ 는 open set 이다.

“Connected” 한 집합이란 무엇인가?

connected 의 정의 집합 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 에 대하여 영역 $D$ 의 임의의 두점을 이으는 곡선중 어떤 곡선이 영역 $D$ 안에 있다면 집합 $D$ 를 connected 라고 한다.

Simply-Connected 영역 심플하게 연결된 영역이란 직관적으로 보았을떄 한덩이로 이루어져 있고 구멍이 없는 영역이다.

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Simple 커브 대충 심플한 커브의 정의는 같은 지점을 다시 지나지 않는 폐곡선이다. 좀더 포말한 정의로는 $C=r(t),a\le t\le b$ 라고 할때, $r(a)=r(b)$ 이고 $a<t<b$ 에서 $r(t)$ 가 일대일 대응이어야 한다.

그리고 이거를 갑자기 왜 배우는가?

중요한 동치 조건들

Theorem $$\mathbf{F}\text{가 independent of path}⟺\underset{폐곡선}{\int }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}=0$$

이다. 그리고 당연하지만, $\mathbf{F}$ 가 보존장 이라”면” (면 앞은 충분조건!) $\mathbf{F}$ 는 independent of path 다.

Theorem $$\text{벡터장}\mathbf{F}\text{가 }\mathit{\text{open , connected }}\text{ 인 집합 }D\text{ 에서 연속하며, independent of path 이다}⟹\mathbf{F}\text{는 보존장이다.}$$

지난번 편미분 시간에 배운 클래로 정리를 기억하는가?

Theorem $\mathbf{F}=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩$ 이고, $$\mathbf{F}\text{가 }\mathit{\text{보존장}}⟹\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

그렇다면 이 명제의 역은 참인가?

그린 정리 (와 따름정리)

Theorem $\mathbf{F}(x,y)=⟨P(x,y),Q(x,y)⟩$ 이고, 정의역 $D$ 가 오픈, 심플리 커넥티드인 영역이면, $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}⟹\mathbf{F}\text{ 는 보존장}$$

그린 정리 곡선 $C$ 가 양방향(시계 반대 방향), 부드러운, 심플한 폐곡선에 대해 이 곡선을 경계로 하는 영역을 $D$ 라고 하자, 이때 $P,Q$ 가 $D$ 에서 연속한 편도함수를 가진다면, $$\underset{C}{\oint }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }-\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy$$ 이다.

참고로 $\underset{C}{\oint }$ 는 곡선 $C$ 가 폐곡선이고, 양의 방향( 시계 반대 방향) 으로 선적분을 한다는것을 강조하기 위해 쓰인다.

가끔씩 $\partial D$ 라는 표기도 보이는데 이는 $D$ 영역의 경계를 따라가는 커브를 의미한다.

여기서 그린 정리를 응용하면,

${\displaystyle \text{넓이}=\underset{D}{\iint }dxdy=\underset{\partial D}{\int }-ydx=\underset{\partial D}{\int }xdy=\frac{1}{2}\underset{\partial D}{\int }-ydx+xdy}$ 라는 응용도 가능하다.

$\star \text{ 참고}\star$ 당연한 거지만, $\mathbf{F}=⟨P,Q⟩$ 라면, ${\int }_{\partial D}\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_D-\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy$ 이라고 풀수 있어야 한다.

문풀 시간 원래는 이런거 안 하지만, 이거는 상당히 중요해서 넣는다.

prove that for all open,simply-connected,closed smooth curve $C$ that encloses the orgin, ${\int }_C\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}=0$ 대충 F= 쌈@뽕한 분수꼴 함수 ( 싱귤러리티가 있어야)

ㅇㅇㅇ야 이거 기억하고 있지? >.< 나중에 하자 지금은 진도 빼고.

껄과 다이버전스

우리가 저번에 배운 $\mathrm{\nabla }$ 을 기억하는가? 사실 이것또한 일종의 벡터로 생각할수 있다.

$\mathrm{\nabla }=⟨\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}\dots ⟩$ 라고 생각해 보자.

$\mathrm{\nabla }f=⟨\frac{\partial }{\partial x}f,\frac{\partial }{\partial y}f⟩$ 이처럼 상당히 “말 되는” 느낌이다.

(물론 편미분 연산자는 일종의 함수이고, notation abuse 를 통해 곱하기를 “함수의 합성” 으로 해석하는 것이 타당한지는 생각하지 말도록 하자.)

여기서 백터니까, 크로스곱과 도트곱을 하고 싶다는 생각이 들지 아니한가?

어서 해 보자(let’s look at the sun ㅋㅋㅋ)

컬(스껄아님 ㅋㅋ)의 정의 $curl(\mathbf{F})=\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$
where $\mathbf{F}=⟨P,Q,R⟩$ 만약 $\mathbf{F}$ 가 이차원 벡터장이라면 그냥 3차원으로 끌어올린다 생각하고 $R=0$ 으로 놓고 계산한다.

Theorem 정의역에서 성분들의 편도함수가 전부 연속이고 $$\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=0⟹\mathbf{F}\text{ 가 보존장}$$

이제부터 $\mathrm{\nabla }f=F$ 인 f를 찾거나 보존장 여부를 물을때 컬을 보는 습관을 들이도록 한다.

다이버전스 의 정의 $$div(\mathbf{F})=\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{F}=P_x+Q_y+R_z$$

note: $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\times \mathbf{F}=0$ 이다, (F의 성분들의 이계편도함수가 연속이면.)

스토크스 정리와 면(국수 아님 ㅋㅋ)적분

Theorem $$\underset{C}{\oint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}=\underset{D}{\iint }curl(\mathbf{F})\cdot \mathbf{k}dA=\underset{D}{\iint }-\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial x}dA$$

이처럼 스토크스 정리의 2차원 버전은 그린 정리이다.

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이처럼 $\mathbf{n}$ 은 적분 대상의 크기가 1인 노말 벡터이다.

2D Divergence Theorem F의 성분의 편도함수가 연속할때 $$\underset{\partial D}{\oint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot \mathbf{n}ds=\underset{D}{\iint }div(\mathbf{F})dA$$

이거를 왜 하냐? “하고 싶으니까!!!”

면적분

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스칼라 면적분 $$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(r(u,v))|r_u\times r_v|dudv$$

이때 $\mathbf{r}=⟨u,v,f(u,v)⟩$ 꼴이면 계산이 편하다.

$dS=|r_u\times r_v|dudv!!!!!$

벡터장 면적분 (Flux) orientable 한 서피스 $S$ 에 대하야 $$\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS=\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{D}=\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot ({\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}\mathbf{)}dudv$$

계산할때는

$$\underset{D}{\iint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot \mathbf{n}|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv$$

이걸 쓰거나 ${\displaystyle \underset{D}{\iint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot \mathbf{(}{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}\mathbf{)}dudv}$ 이거 중요함!!! 를 사용한다.

당연히 $S=\{\mathbf{r}\mathbf{(}\mathbf{u}\mathbf{,}\mathbf{v}\mathbf{)}|u,v\in D\}$ 이다. ex) $\mathbf{r}=⟨u^2,uv,\sin (uv)⟩$

스톡크스 정리

스톡크스 정리 $S$ 가 커낵티드인 곡면이다. 이때 $S$가 부드럽고 심플한 폐곡선 $C$ 를 경계선으로 한다면 $$\underset{C}{\oint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}=\underset{S}{\iint }curl(\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$ 이다. 이떄 $\mathbf{F}$ 는 해당 곡선 위에서 성분들의 편도함수가 연속해야 한다! (문제에서 잘 낸다)

$\underset{C}{\oint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}=\underset{S}{\iint }curl(\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\underset{S}{\iint }=curl(\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS=\underset{S}{\iint }curl(\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}))\cdot \mathbf{n}|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv=\underset{S}{\iint }curl(\mathbf{F})\cdot ({\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}})dudv$

다이버전스 정리

$E$ 가 심플한 3차원 영역이고 $S$가 그것의 경계 곡면이다. 그리고 $\mathbf{F}$ 의 성분의 편도함수가 모두 영역 $E$위에서 연속하다면 $$\underset{S}{\iint }\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\underset{E}{\iiint }div(\mathbf{F})dV$$

$\underset{C}{\oint }\mathbf{F}\mathbf{(}\mathbf{r}\mathbf{)}\cdot d\mathbf{r}=\underset{S}{\iint }curl(\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=\iiint div(curl(\mathbf{F}))dV=0$