지금까지 한 메모들

지금까지 한 메모들 작업중

1. 오루비를 메모장으로 쓰기

연속함수면 클레로 정리에 의해서

$g=f_{xy}=f_{yx}$ therefore

$$\int g\partial x\partial y-\int g\partial y\partial x=h(x,y\dots )$$ (푸비니 정리 꼴?)가 어느정도 성립한다고 할수 있으니까

미방 꼴)

$$M+N\frac{dy}{dx}=0$$

이거가 exact 꼴이다 의 필요충분이( $M,N,M_y,N_x$ 가 연속하다면),$M_y=N_x$이다

$$M_y=N_x⟺\frac{\partial u}{\partial x}=M,\frac{\partial u}{\partial y}=N$$ 그럼

$$M_y=N_x⟸\frac{\partial u}{\partial x}=M,\frac{\partial u}{\partial y}=N$$ 는 클레로 정리에 의해 참.

$$M_y=N_x⟹\frac{\partial u}{\partial x}=M,\frac{\partial u}{\partial y}=N$$

를 보이면 되는데

$$M-\int N_x\partial y=0\to \int M\partial x-\iint N_x\partial y\partial x=0$$

therfore (위의 푸비니 정리꼴에 의해서)

${\displaystyle \int M\partial x-\int N\partial y=0}$

${\displaystyle \therefore \frac{\partial u}{\partial x}=M,\frac{\partial u}{\partial y}=N}$

thus

$M+N\frac{dy}{dx}=0$

의 해 $y$ 가 존재함은

$$M_y=N_x⟺\frac{\partial u}{\partial x}=M,\frac{\partial u}{\partial y}=N$$ 일때 성립한다.

2. 개인메모장2-클레로 정리 내식대로 증명

$f_{xy}=f_{yx}$ 증명은 mvt 가지고 꼼지락거리기 인데

내가 꼴@리는 방식대로 계획:

예전에 했던 $$\underset{h\to 0+}{\lim }\sum _{k=0}^n\frac{n{C}_k(-1{)}^{n-k}f(x+kh)}{h^n}=\frac{d^{n}f}{d{x}^n}$$ 이거를 하는 느낌으로 극한 iteration 해서

하면 될거 같은데

그러면

for all 연속함수:

$$\underset{h_1\to a{h}_2\to a}{\lim }f(h_1+h_2)=\underset{h_2\to a}{\lim }\underset{h_1\to a}{\lim }f(h_1+h_2)=\underset{h_1\to a}{\lim }f(2h_1)$$

가 성립함을 보여야 할것인데 (대충 느낌상)

이건 입델로 꼼지락거리면 가능할것임

그럼 또다른 문제가 뭐냐면 모든 실수 a에 대해 $f(x,a),f(a,x)$ (각각 단변수함수) 가 연속이면 $f(x,y)$ 가 연속이냐? 도 보여야함 아마 안될거 같긴함

일단 이거 2가지를 보조정리로 써서 클레로 정리가 증명될거같음

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그리고 계속 오루비를 창고로 쓸수는 없으니

옵시디안을 클라우드에 연동하는 방법 알아보기

3. 메모)원통좌표계 해석하는법

$$\begin{array}{rl}& x=p\cos \theta \sin \varphi \\ & y=p\sin \theta \sin \varphi \\ & z=p\cos \varphi \end{array}$$

이렇게 되어있는 꼴을 원통좌표계라고 하는데

이걸 해석하는 방법은 $$\begin{array}{rl}& x=(p\cos \theta )\sin \varphi \\ & y=(p\sin \theta )\sin \varphi \\ & z=p\cos \varphi \end{array}$$ $x,y$ 만 일단 $p\cos \theta ,p\sin \theta$ 보고 $\varphi$가 고정일때 대충 원이 그려질 꺼니까 원의 크기를 적당히 조절한 다음

그걸이제 다시한번 원의 크기를 늘려가면서 $z$방향 아래로 내려버리면 됨

$\varphi$ 가 $0\sim \pi$사이니까

4. 메모) 적분을 위한 극좌표 표현

5. 메모) 문풀 중요1

6. 메모) 변수가 3개면

일단 ${}_3{C}_2$ 개의 평면을 그려본다 (하나는 고정해서)

그래서 적절한 리전을 파악한다

7. 메모) 벡터장 적분을 할때

${\displaystyle \int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}$ 기존 적분에서도 동일하게 생각할수 있는데

${\displaystyle \int f(x)dx}$ 는 결국 함수속 변수가 정적인 것이 아니고 구간을 따라가는 개미라고 생각할수 있다.

마찬가지로

$$\int \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}$$

이라고 적는것이 좀더 포말하게 적는건데

위치벡터 r이 적분할 곡선이나 곡면을 쮸쀼쮸쀼 움직이는 개미라고 생각할수 있다. (곡선과 곡면 위의 개미)

그러니까 예시로 $F=⟨xx,yy,z⟩$ 라고 하고 곡선 $C:\{(x,y)|xx+yy=1\}$ 을 따라 적분한다면

$r=⟨x,y,0⟩$ 이고 $x,y$ 는 $C$위의 좌표를 뜻하니까

$$\int \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}={\int }_G⟨x^2,y^2,0⟩\cdot d\mathbf{r}$$

으로 생각해야 한다는 거다.

이거는 이후에 나오는 면적분에서도 동일하게 적용이 가능 해야한다

8. 메모)전나중요!!!

스톡스 정리나

다이버전스 정리를 적용할때

스톡스에서

서피스 인테그랄 $\to$ 라인 인테그랄

로 바꾸는 과정에서 서피스가”열려” 있어야 한다

다이버전스에서

서피스 인테그랄 $\to$ 삼중적분 으로 바꿀때

서피스가 “닫혀” 있어야 한다

그외에 당연히 라인인테그랄이 들어가면 그건 폐곡선이어야 한다는 거임

당연히 문제에서는 그렇지 아니한 조건을 준다

그렇다면 니가 직접 알잘으로 대상을 더하거나 빼서

조건에 맞춰 계산한다

9. 메모) 컬

컬은 결국 백터의 크로스 프로덕트 스럽게 정의되기 때문에

“리니어” 하다

그리고

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\times ⟨p(x),q(y),r(z)⟩=\overrightarrow{0}}$

이다.

마찬가지로 다이버전스도

${\displaystyle \mathrm{\nabla }\cdot ⟨p(y,z),q(x,z),r(z,y)⟩=0}$

이고

리니어 하다

10. 메모) 스톡스 정리랑 보존장

컬=0 $⟹$ 보존장

“겠냐”

성분의 편도함수가 연속해야 한다

그린정리의 따름 정리니까

그레서 그 특이점 있는거 피한 커브를 만드는 유형이 있는거임

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스톡스 정리

$${\oint }_C\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}={\int }_{S_{\sigma pen}}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS{\oint }_C\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}={\int }_{S_{\sigma pen}}(\mathrm{\nabla }\times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$ 여기서 $$\partial D=C$$ 라고 할수 있다

그럼 저 오픈 서피스 $S$를 $D$로 잡을수 잇다

(스톡스 정리의 핵심은 “아무” 오픈 서피스나 잡을수 있다는 거다, 계산에 유리한거 아무거나 잡을수 있다)

왜냐면 평면은 “오픈 서피스” 이기 때문이다. ## 11. 메모) 야@코비안과 노말 백터

면적분 공식에서

${\displaystyle {\iint }_S\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}dS}$

이때

$$\begin{array}{c}ndS=({\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}})dudv\\ dS=|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv\end{array}$$ $dS$를 보면 결국 $dudv$ 의 계수는 “야@코비안” 꼴이다

그렇기에

$f(x,y)$ 꼴인 경우

$r=(x,y,f)$

$|{\mathbf{r}}_{\mathbf{x}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{y}}|=\sqrt{1+(f_x{)}^2+(f_y{)}^2}$

구면좌표인 경우

$r=\text{대충 구면 좌표계}$

$|{\mathbf{r}}_{\varphi }\times {\mathbf{r}}_{\theta }|=p^2\sin (\varphi )$

이경우 $p$는 상수다! $r$은 서피스를 표현하기 때문에…

폴라 형식

$r=(p\cos \theta ,p\sin \theta ,\text{상수})$ <-폴라 형태

$|{\mathbf{r}}_{\mathbf{p}}\times {\mathbf{r}}_{\theta }|=p$

여기선 당연히 $p$가 변수다… 원판도 오픈 서피스니까

이처럼 야@코비안 기억하듯이 기억하면 편하다

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후일담

아오 이거 작업하느라 엄청 힘들었으 ㅠㅠ

여러분은 절대로 mathpix snip 이나 simpletex 같은 클라우드 기반 쓰래기를 쓰지 마시고 100 % 로컬로 돌아가는 $LATEX$ ocr 소프트웨어인 pix2tex 를 쓰세요!!!