미분적분학II - 선적분에 앞서서



이제부터는 선적분을 배우기 시작한다.


이는 물리에서 시작했기 때문에 처음 배우면 "이걸 왜 하지?" 라는 의문의 생길수도 있다. 하지만 그런 의문을 잠시 무시하고 탐구하다 보면 "차원의 확장" 인 이중적분 처럼 "구간의 확장" 인 선적분을 느낄수 있을 것이다.


참고: 선적분 파트에서는 암묵의 규칙이 어느정도 존재한다.

  1. 폐곡선은 시계 반대 방향이 "양의 방향" 이다. 아무말이 없다면 시계 반대 방향을 기준으로 한다. (자연에서 양의 방향은 시계 반대 방향인 경우가 많기 때문이다.)

  2. 곡선은 한번만 회전한다 (같은걸 여러번 더하는 사태를 막기 위해서다.)

  3. 1번에서 말한 것처럼, 시계반대 방향으로 가는 곡선을 $C$ 라 하면 $-C$ 는 시계 방향으로 가는 곡선이다.

또한 고등학교 기하를 배우지 않은 사람은 벡터와 매계변수를 이용해 선분을 나타내는 방법이 다소 생소할 것이다.


$$\begin{align} \vec{a}=(a_1,a_2) \\ \vec{b}=(b_1,b_2) \end{align}$$ 라고 하자.


이 두점을 이은 선분을 나타내는 백터 $\vec{r(t)}$ 은 다음과 같은 식으로 나타낼수 있다.


(a에서 b방향으로 갈때)


$$\vec{r(t)}=(1-t)\vec{a}+(t)\vec{b}$$ 이다. ($0 \leq t \leq 1$)


만약 어떤 이유로 "속도" 를 줄이고 싶다면,


$$\vec{r(t)}=\frac{(C-t)\vec{a}+(t)\vec{b}}{C}$$ 으로 나타낸다, ($0 \leq t \leq C$)

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