집합론 - about sets and classes
01-01-about sets and classes before we start… 우리가 알고 있는 모임의 수학적 표현으로의 set 을 이용해 해당 set \(S\) 를 생각 해 보자. \[S = \text{자기 자신을 원소로 가지지 않는 모든 집합의 집합}\] 이를 좀더 포말하게 작성한다면, \[S = \{ x:x \text{ is a set, }x \not\in x \}\] 이 된다. 일단 직관적으로 \(S\) 는 set 이라 한다면. “ \(S\) 는 자기 자신을 원소로 가지는가?” 라는 질문이 생긴다 [!증명] 우선 \(S \in S\) 라 가정한다, 그러면 저 조건에 의하여, \(S \not\in S\) 를 만족해야 한다, 이는 모순이다. 또한 \(S \not\in S\) 라 가정한다, 그러면 조건의 역인 \(S \in S\) 를 만족해야 한다, 이 또한 모순이다. 즉 이러한 set 은 어떤 상황에도 모순을 만든다는 문제가 생긴다. (이를 러셀의 역설 이라 한다.) 그렇다면 여기서 좀더 기초적인 질문이 가능하다. “Set 이란 엄밀하게 무엇인가?” 이러한 문제를 해결하기 위해. 저멜로,러셀,칸토어 같은 여러 거인들이 다양한 방법으로 집합을 정의함으로써 이 역설을 해결하러 하였다. 그러나 저멜로의 집합에 관한 아이디어는 “베리의 역설” 을 해결하지 못한다는 한계에 부딛히고 말았다. 이후 폰 노이만, 베르나이스, 괴델이 NBG 공리계를 정립해 탄탄한 집합론을 만들었다. 이제 기존의 집합에 대한 관념을 버리고 sound 한 집합론에 대해 알아가 보자. 명제의 성질 우선 집합에 대해 논의하기 전에 기초적인 명제에 대해 알아야 한다 [!정의] 문장 문장이란 분명하게 참/거짓을 판단할수 있는 statement 이다. “고대는 .대보다 좋다.” , “프랑스 왕은 대머리이다.” , “까마귀는 검다.” 같은 것들을 우리는 명제라고 한다. 계속해서 statement 들을 적어나가기는 비효율적이므로 \(P,...
